Visualizador de séries de Fourier

Visualizador gratuito de séries de Fourier para ondas quadradas, triangulares, dente de serra e meia onda retificada. Ajuste o número de termos de 1 a 50 e acompanhe a soma parcial convergir, leia o espectro de harmônicos e veja surgir o sobressinal de Gibbs.

O que uma série de Fourier faz

Uma série de Fourier reescreve uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. Este visualizador cobre quatro formas de onda clássicas — quadrada, triangular, dente de serra e meia onda retificada — usando os coeficientes em forma fechada que você encontra em qualquer livro-texto. Ao aumentar e diminuir o número de termos, dá para acompanhar no gráfico a soma parcial se aproximando da onda original. Nenhuma integração numérica é usada, portanto os coeficientes exibidos são exatos dentro do arredondamento da precisão dupla.

A parte interessante é como as quatro formas de onda convergem de maneiras bem diferentes. A quadrada e a dente de serra têm coeficientes que decaem como 1/n, então a ondulação junto às quinas sobrevive mesmo quando você acrescenta muitos termos. A triangular decai como 1/n² e, com cerca de dez termos, já se sobrepõe quase perfeitamente à original. Nas formas de onda com um salto de verdade, nenhum número de termos elimina o sobressinal de aproximadamente 9% que surge pouco antes da descontinuidade, e esse valor pode ser acompanhado diretamente no indicador do máximo da soma parcial.

Como usar o visualizador de séries de Fourier

Escolha uma forma de onda Você pode optar entre a quadrada, a triangular, a dente de serra e a de meia onda retificada. Logo abaixo do seletor aparecem a série correspondente e uma nota sobre como ela converge.
Mova o controle de termos N vai de 1 a 50. A linha laranja contínua é a soma parcial e a linha cinza tracejada é a onda original.
Leia os indicadores de convergência O erro quadrático médio e o erro máximo mostram em números o quanto cada termo adicional rende. O máximo da soma parcial mede o sobressinal.
Compare a tabela e o espectro Tanto o gráfico de barras quanto a tabela mostram quais harmônicos concentram a amplitude. Na onda quadrada percebe-se de imediato que todos os harmônicos pares estão vazios.

Dicas para aproveitar melhor

Coloque a onda quadrada em N = 5, depois 15 e depois 45. As ondulações ficam mais numerosas, mas quase não perdem altura: é o fenômeno de Gibbs, e o sobressinal permanece em torno de 9% por mais termos que você acrescente.
Compare a onda triangular e a quadrada com o mesmo N. A diferença entre o decaimento 1/n² e 1/n aparece na hora: os valores de erro costumam diferir em uma ordem de grandeza ou mais.
Só o sinal de meia onda retificada tem termo constante. Se você já se perguntou por que a saída de um retificador guarda uma componente contínua, a resposta é o 1/π da sua série.
Se precisar dos coeficientes de uma função sua, use a nossa calculadora de coeficientes de Fourier, que obtém a₀, aₙ e bₙ por integração numérica.

Onde o visualizador de séries de Fourier ajuda

Acompanhar uma aula ou um livro de circuitos

Uma série em forma fechada no papel não diz nada sobre a rapidez com que ela converge. Ver a onda se formar termo a termo liga o formato da fórmula ao formato do resultado.

Trabalhar com distorção harmônica

O fato de a onda quadrada conter apenas harmônicos ímpares enquanto a dente de serra inclui também os pares é um ponto de partida no projeto de filtros e em compatibilidade eletromagnética. O gráfico de barras torna a diferença evidente.

Estudar o ringing em processamento de sinais

Limitar o número de termos é exatamente o que limitar a banda faz, e a ondulação que aparece junto às quinas é o mesmo ringing produzido por um filtro passa-baixa abrupto.

Explicar o timbre de um instrumento

Duas notas com a mesma frequência fundamental soam diferentes quando o conteúdo harmônico difere. Comparar os espectros da onda quadrada e da triangular é o exemplo mais claro disso.

Termos das séries de Fourier

Série de Fourier: Representação de uma função periódica como soma de senos e cossenos cujos períodos são o período original dividido por um número inteiro. Em princípio a soma nunca termina.
Soma parcial: A soma finita obtida ao cortar uma série infinita no termo N. A linha laranja contínua desta página é uma soma parcial.
Fundamental: A componente com n = 1, que tem o mesmo período da função original. Num som musical é a componente que define a altura.
Harmônico: Componente cuja frequência é um múltiplo inteiro da fundamental. O harmônico n fica em n vezes a frequência fundamental e determina o timbre e o quanto as quinas ficam agudas.
Componente contínua: A componente de frequência zero, igual à média da função ao longo de um período. Aqui ela aparece como o termo constante a₀/2.
Fenômeno de Gibbs: O sobressinal que uma soma parcial de Fourier produz imediatamente antes de uma descontinuidade de salto. Acrescentar termos estreita a região afetada, mas o sobressinal permanece em torno de 9%.
Erro quadrático médio: A raiz quadrada da média dos quadrados da diferença entre a onda original e a soma parcial ao longo de um período. É o número habitual para resumir a qualidade do ajuste.

Perguntas frequentes sobre séries de Fourier

Numa função com salto, a soma parcial sempre ultrapassa o alvo pouco antes do salto. É o fenômeno de Gibbs, e o tamanho do sobressinal permanece em torno de 9% independentemente do número de termos. O que diminui é a largura da região afetada, e é por isso que o erro quadrático médio continua caindo de forma constante.

A onda quadrada tem simetria de meia onda: desloque-a meio período e ela troca de sinal. Em qualquer forma de onda com essa simetria todos os coeficientes de ordem par são exatamente zero, e por isso as barras pares do espectro ficam vazias. A onda dente de serra não tem essa simetria, então os harmônicos pares dela aparecem.

Sim. Para estas quatro formas de onda a ferramenta usa diretamente as expressões fechadas dos livros-texto, então os valores são exatos dentro do arredondamento da precisão dupla, e não aproximações numéricas. Tratar uma função arbitrária exige integração numérica, e é por isso que essa parte fica numa ferramenta separada.

Use a nossa calculadora de coeficientes de Fourier, que os calcula por integração numérica. Informe uma expressão, o intervalo do período e o harmônico mais alto desejado, e você recebe a₀, aₙ e bₙ em forma de tabela junto com o gráfico da onda reconstruída.

Curiosidade — Quando se dizia que uma quina não podia ser feita de curvas suaves

As séries de Fourier começaram com uma ideia que Joseph Fourier levou ao problema da condução de calor em 1807. Seus contemporâneos não se convenceram: a afirmação de que uma função com quinas poderia ser escrita como soma de termos trigonométricos perfeitamente suaves pareceu a Lagrange e a outros claramente equivocada, e Fourier enfrentou oposição séria. Aconteceu que eles não estavam de todo errados — não toda função tem uma série que converge em cada ponto — e definir exatamente quais têm tornou-se uma das perguntas que movimentaram a análise do século XIX. As condições de convergência de Dirichlet e a construção cuidadosa da integral de Riemann nasceram dali.

O fenômeno de Gibbs leva o nome do físico Josiah Willard Gibbs, embora quem o tenha descrito primeiro foi o matemático inglês Henry Wilbraham, em 1848. Gibbs escreveu sobre o assunto em 1898, foi a versão dele que circulou e o nome ficou. O número curiosamente específico de cerca de 8,95% para o sobressinal vem do máximo da função integral do seno, e é o mesmo valor em qualquer descontinuidade de salto de qualquer forma de onda.

Esse sobressinal continua aparecendo na engenharia do dia a dia. Corte as frequências altas de um áudio digital e você obtém pré-eco, um som tênue que chega antes do ataque a que pertence; faça o mesmo com uma imagem e você obtém ringing, as faixas que se colam a uma borda nítida. O borrão que se vê nas fronteiras de bloco de um JPEG muito comprimido tem a mesma raiz. Projetar um filtro com uma função de janela bem escolhida é, entre outras coisas, negociar quanto desse sobressinal você aceita, e mover o controle de termos desta página deixa ver exatamente o que está sendo abandonado.

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