판별식이란 무엇인가요?

판별식 D = b² − 4ac는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 실수 근의 개수를 판별합니다. D > 0: 서로 다른 두 실수 근; D = 0: 중근; D 0이면 포물선이 x축과 두 점에서 교차, D = 0이면 접함, D < 0이면 교점이 없습니다.

이차함수 그래프 작성·계산기｜꼭짓점·대칭축·근 자동 계산

a, b, c를 입력해 y = ax² + bx + c 포물선을 무료로 그립니다. 꼭짓점, 대칭축, 판별식과 실수 근을 즉시 계산하고 그래프 좌표도 확인할 수 있습니다.

마지막 업데이트: 2026-09-06

이차함수의 그래프란

이차함수는 y = ax² + bx + c의 꼴로 나타내며, 그 그래프는 포물선이라 불리는 좌우 대칭의 곡선이 됩니다. a는 벌어지는 방향을 정해, 양수면 아래로 볼록(위로 열림), 음수면 위로 볼록(아래로 열림)이 되고, 절댓값이 클수록 가늘어집니다. a가 0이면 x²의 항이 사라져 직선이 되어 버리므로, 이차함수로는 다룰 수 없습니다.

이 도구는 세 계수를 넣으시기만 하면 포물선을 그리고, 꼭짓점·대칭축·판별식 D·실근의 종류·y절편을 한꺼번에 계산합니다. 꼭짓점의 x좌표는 x = −b ÷ (2a)로 구해지며, 그곳이 a > 0이면 최솟값, a < 0이면 최댓값이 됩니다. 판별식 D = b² − 4ac의 부호로, 그래프가 x축과 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지가 정해집니다. x의 표시 범위도 바꾸실 수 있어 꼭짓점 부근을 확대하거나 떨어진 영역의 모습을 살피실 수 있습니다.

이차함수 그래프 사용 방법

세 계수를 입력합니다 이차의 계수 a, 일차의 계수 b, 상수항 c를 넣으시면 포물선이 그려집니다. a에 0을 넣으시면 이차함수가 되지 않으므로 그 뜻의 오류가 납니다.
x의 표시 범위를 정합니다 xMin과 xMax를 지정해 보고 싶으신 범위만 표시하실 수 있습니다. xMin이 xMax 이상이면 범위가 되지 않아 오류가 납니다.
꼭짓점과 대칭축을 읽습니다 꼭짓점의 좌표와 대칭축의 식이 자동으로 표시됩니다. 꼭짓점은 그래프 위에 표시되므로 최솟값·최댓값의 자리를 눈으로 확인하실 수 있습니다.
판별식으로 근의 모습을 압니다 판별식 D가 양수면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근, 음수면 실근 없음으로 표시됩니다. 그래프가 x축과 어떻게 관계하는지가 그대로 드러납니다.
특정한 x에 대한 y를 구합니다 ‘x의 값’에 수를 넣으시면 대응하는 y가 계산됩니다. 곡선에서 읽는 것보다 정확한 값을 얻으실 수 있습니다.

더 잘 활용하기 위한 팁

이차 계수 a는 포물선의 형태를 결정합니다. a > 0이면 위로 볼록(아래 방향 개구), a < 0이면 아래로 볼록(위 방향 개구)입니다. |a|가 클수록 포물선이 좁아집니다.
꼭짓점의 x 좌표는 x = −b ÷ (2a)입니다. 꼭짓점은 a > 0일 때 최솟값, a < 0일 때 최댓값 점이며, 그래프에 파란 마름모로 표시됩니다.
판별식 D = b² − 4ac의 부호로 실수 근의 개수를 판별합니다. D > 0: x축과 두 점에서 교차(초록 점); D = 0: 접함(중근); D < 0: 교점 없음.
그래프에 마우스를 올리면 임의 점의 (x, y) 좌표를 확인할 수 있습니다. 왼쪽에 x 값을 입력하면 해당 y 값을 자동으로 계산합니다.

이차함수 그래프의 활용 상황

중·고등학교 수학의 학습과 검산

계수를 조금씩 바꾸어 다시 그리시면 a·b·c가 저마다 모양과 위치에 어떻게 작용하는지를 눈으로 확인하실 수 있습니다. 완전제곱꼴이나 근의 공식으로 구하신 꼭짓점·근의 답 맞추기에도 쓰실 수 있습니다.

판별식과 교점의 관계를 확인하기

D의 부호를 바꾸어 가며 그리시면, x축과 두 점에서 만남·접함·만나지 않음의 세 경우가 실제 모양으로 보입니다.

최댓값·최솟값을 구하는 문제

‘이익이 최대가 되는 가격’, ‘넓이가 최대가 되는 변의 길이’ 같은 최대·최소 문제에서 찾는 것은 꼭짓점의 자리입니다.

포물선 운동을 나타내기

중력만 작용할 때 물체의 자취는 포물선을 그립니다. 위로 던진 물건의 높이 변화를, 시간을 x로 삼은 이차함수로 나타낼 수 있습니다.

다른 곡선과 견주기

직선과 견주고 싶으시면 일차함수 그래프를, 차수를 한 단계 더 올린 꼴과 견주고 싶으시면 삼차함수 그래프를 써 주세요.

이차함수에 관한 용어집

이차함수: y = ax² + bx + c(a ≠ 0)의 꼴로 나타내는 함수입니다. x의 가장 높은 차수가 2인 데서 이렇게 부르며, 그래프는 포물선이 됩니다.
포물선: 이차함수의 그래프가 그리는 좌우 대칭의 곡선입니다. 물건을 던졌을 때의 자취가 이 모양이 되는 데서 이 이름이 붙었습니다.
꼭짓점: 포물선이 되꺾이는 점입니다. x좌표는 x = −b ÷ (2a)로 구해지며, a > 0일 때는 함수의 최솟값을, a < 0일 때는 최댓값을 줍니다.
대칭축: 포물선을 좌우 대칭으로 이등분하는 세로 직선으로, 꼭짓점을 지납니다. 식은 x = −b ÷ (2a)입니다.
판별식: D = b² − 4ac로 계산되는 값입니다. D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 중근, D < 0이면 실근을 가지지 않아 그래프는 x축과 만나지 않습니다.
중근: 두 근이 같은 값으로 겹친 상태입니다. 판별식이 0일 때 일어나며, 그래프는 x축에 접합니다.
완전제곱꼴: y = a(x − p)² + q의 꼴로 고쳐 쓰는 변형입니다. 이 꼴로 하면 꼭짓점이 (p, q)임을 한눈에 아실 수 있습니다.

자주 묻는 질문

a = 0이면 이차항이 없어져 y = bx + c(일차함수 또는 상수)가 됩니다. 이 도구는 이차함수 시각화를 위해 설계되었으므로 a = 0은 입력할 수 없습니다. 직선을 그리려면 "일차함수 그래프" 도구를 이용하세요.

판별식 D = b² − 4ac는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 실수 근의 개수를 판별합니다. D > 0: 서로 다른 두 실수 근; D = 0: 중근; D < 0: 실수 근 없음(복소수 근만 존재). 그래프에서는 D > 0이면 포물선이 x축과 두 점에서 교차, D = 0이면 접함, D < 0이면 교점이 없습니다.

y = ax² + bx + c를 완전제곱식으로 변환하면 꼭짓점 형태 y = a(x − p)² + q를 얻습니다(p = −b/(2a), q = c − b²/(4a)). 이 도구는 일반형으로 입력받아 꼭짓점 좌표 (p, q)를 자동으로 계산·표시합니다.

네. a, b, c를 변경하면 그래프가 실시간으로 업데이트되어 각 계수가 포물선의 형태에 미치는 영향을 직관적으로 이해할 수 있습니다. 중학교·고등학교 이차함수 단원 학습에 활용하기 좋습니다.

여담 ― "포물선"이라는 이름의 유래

"포물선(parabola)"이라는 이름은 고대 그리스 수학자 아폴로니우스(기원전 262~190년경)가 원뿔 곡선을 연구하면서 붙인 것입니다. 그리스어 "παραβολή"(파라볼레)는 "나란히 놓다"를 의미하며, 포물선 위의 점들이 초점과 준선에서 같은 거리에 있다는 기하학적 성질을 표현합니다.

현실 세계에서 포물선이 등장하는 가장 유명한 예는 공기 저항을 무시했을 때의 포물체 운동 궤적으로, 갈릴레오 갈릴레이가 17세기 실험을 통해 발견했습니다. 손전등이나 자동차 전조등의 반사경은 포물면(포물선을 회전시킨 곡면)을 활용하여 초점에 놓인 광원을 평행 광선으로 변환합니다.

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