Quadratische Funktion zeichnen & berechnen — Scheitel und Nullstellen

Zeichnen Sie y = ax² + bx + c kostenlos durch Eingabe von a, b und c. Scheitelpunkt, Symmetrieachse, Diskriminante und reelle Nullstellen werden sofort berechnet.

Zuletzt aktualisiert: 2026-09-06

Was der Graph einer quadratischen Funktion ist

Eine quadratische Funktion schreibt sich y = ax² + bx + c, und ihr Graph ist eine Parabel – eine zu einer senkrechten Geraden spiegelsymmetrische Kurve. Das a bestimmt die Öffnung: positiv öffnet sie sich nach oben, negativ nach unten, und je größer der Betrag, desto schmaler wird sie. Ist a null, so fällt das Glied mit x² fort und übrig bleibt eine Gerade; als quadratische Funktion lässt sich das nicht mehr behandeln.

Dieses Werkzeug zeichnet die Parabel aus diesen drei Koeffizienten und ermittelt dazu Scheitel, Symmetrieachse, Diskriminante D, Art der reellen Lösungen und den y-Achsenabschnitt. Die x-Koordinate des Scheitels folgt aus x = −b ÷ (2a); dieser Punkt ist das Minimum, wenn a positiv, und das Maximum, wenn a negativ ist. Das Vorzeichen der Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet, ob der Graph die x-Achse in zwei Punkten schneidet, sie berührt oder gar nicht trifft. Der dargestellte Bereich von x lässt sich ändern, sodass Sie den Scheitel vergrößern oder das Verhalten weiter außen betrachten können.

So benutzen Sie den Graphen der quadratischen Funktion

Die drei Koeffizienten eingeben Tragen Sie a, b und c ein, und die Parabel wird gezeichnet. Setzen Sie a auf null, so bleibt keine quadratische Funktion übrig, und ein Hinweis sagt es.
Den Bereich von x festlegen Geben Sie xMin und xMax an, um nur den gewünschten Abschnitt zu zeigen. Liegt xMin nicht unter xMax, so besteht kein Bereich, und ein Hinweis folgt.
Scheitel und Achse ablesen Die Koordinaten des Scheitels und die Gleichung der Symmetrieachse erscheinen von selbst. Der Scheitel ist im Graphen bezeichnet, sodass Sie sehen, wo Minimum oder Maximum liegt.
Aus der Diskriminante auf die Lösungen schließen Ein positives D bedeutet zwei verschiedene reelle Lösungen, null eine doppelte Lösung, ein negatives D keine reelle Lösung – und damit steht zugleich fest, wie der Graph zur x-Achse steht.
Das y zu einem bestimmten x finden Tragen Sie eine Zahl in das Feld für x ein, so wird das zugehörige y berechnet, genauer als es sich von der Kurve ablesen ließe.

Tipps für die Nutzung

Der quadratische Koeffizient a bestimmt die Form der Parabel. Bei a > 0 öffnet sie sich nach oben, bei a < 0 nach unten. Je größer |a|, desto schmaler die Parabel.
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist x = −b ÷ (2a). Der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt (a > 0) oder Hochpunkt (a < 0) und wird als blaues Raute-Symbol angezeigt.
Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Anzahl reeller Wurzeln. D > 0: die Parabel schneidet die x-Achse an 2 Punkten (grüne Punkte); D = 0: Berührpunkt (Doppelwurzel); D < 0: kein Schnittpunkt.
Bewegen Sie den Mauszeiger über den Graphen, um die (x, y)-Koordinaten eines beliebigen Punktes zu sehen. Geben Sie links einen x-Wert ein, um den entsprechenden y-Wert zu berechnen.

Wofür sich der Graph eignet

Schulmathematik lernen und gegenrechnen

Zeichnen Sie die Kurve neu und verändern Sie die Koeffizienten schrittweise, so sehen Sie, wie a, b und c je auf Form und Lage wirken. Es dient auch dem Prüfen eines Scheitels oder einer Lösung, die Sie durch quadratische Ergänzung oder mit der Lösungsformel gewonnen haben.

Den Zusammenhang von Diskriminante und Schnittpunkten sehen

Zeichnen Sie, während Sie das Vorzeichen von D ändern, und die drei Fälle – zweimal schneiden, berühren, verfehlen – treten als sichtbare Gestalten hervor.

Aufgaben zu Höchst- und Tiefstwerten

Bei den vertrauten Fragen nach dem Preis mit dem größten Gewinn oder der Seitenlänge mit der größten Fläche ist die Lage des Scheitels das Gesuchte.

Die Wurfbewegung beschreiben

Die Bahn eines Körpers allein unter der Schwerkraft ist eine Parabel. Die sich ändernde Höhe eines emporgeworfenen Gegenstands lässt sich als quadratische Funktion mit der Zeit als x schreiben.

Mit anderen Kurven vergleichen

Um sie einer Geraden gegenüberzustellen, nehmen Sie den Graphen der linearen Funktion; für einen Grad höher den Graphen der kubischen Funktion.

Begriffe rund um die quadratische Funktion

Quadratische Funktion: Eine Funktion der Gestalt y = ax² + bx + c mit a ungleich null. Ihren Namen trägt sie, weil die höchste Potenz von x zwei ist; ihr Graph ist eine Parabel.
Parabel: Die spiegelsymmetrische Kurve, die der Graph einer quadratischen Funktion beschreibt. Sie ist nach der Bahn benannt, der ein geworfener Gegenstand folgt.
Scheitel: Der Umkehrpunkt der Parabel. Seine x-Koordinate ist x = −b ÷ (2a); er liefert das Minimum der Funktion, wenn a positiv, und das Maximum, wenn a negativ ist.
Symmetrieachse: Die senkrechte Gerade, die die Parabel in zwei spiegelgleiche Hälften teilt und durch den Scheitel geht. Ihre Gleichung lautet x = −b ÷ (2a).
Diskriminante: Der Wert D = b² − 4ac. Ist D größer als null, so gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist er null, eine doppelte; ist er kleiner als null, keine reelle, und der Graph trifft die x-Achse nie.
Doppelte Lösung: Der Fall, in dem beide Lösungen auf denselben Wert fallen. Er tritt bei einer Diskriminante von null ein, und der Graph berührt dann die x-Achse.
Quadratische Ergänzung: Das Umschreiben in die Gestalt y = a(x − p)² + q. In dieser Form liegt der Scheitel offen zutage: er ist (p, q).

Häufige Fragen

Wenn a = 0 ist, entfällt der quadratische Term und die Funktion wird zu y = bx + c (lineare Funktion oder Konstante). Dieses Tool ist für quadratische Funktionen konzipiert, daher ist a = 0 nicht zulässig. Zum Zeichnen von Geraden bitte das Tool „Linearer Funktionsgraph" verwenden.

Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Anzahl reeller Lösungen von ax² + bx + c = 0. D > 0: zwei verschiedene reelle Wurzeln; D = 0: Doppelwurzel; D < 0: keine reellen Wurzeln (nur komplexe). Auf dem Graphen: D > 0 → Parabel schneidet x-Achse an 2 Punkten; D = 0 → Berührung; D < 0 → kein Schnittpunkt.

Durch quadratische Ergänzung von y = ax² + bx + c erhält man die Scheitelpunktform y = a(x − p)² + q mit p = −b/(2a) und q = c − b²/(4a). Dieses Tool akzeptiert die Normalform und berechnet und zeigt automatisch die Scheitelpunktkoordinaten (p, q) an.

Ja. Das Ändern von a, b und c aktualisiert den Graphen in Echtzeit, was das Verständnis erleichtert, wie jeder Koeffizient die Form der Parabel beeinflusst. Das Tool deckt die Themen quadratischer Funktionen des Schulmathematikunterrichts ab.

Übrigens – Die Herkunft des Wortes „Parabel"

Der Name „Parabel" wurde vom altgriechischen Mathematiker Apollonios von Perge (ca. 262–190 v. Chr.) beim Studium der Kegelschnitte geprägt. Das griechische Wort „παραβολή" (parabolé) bedeutet „nebeneinandergestellt" und bezieht sich auf die geometrische Eigenschaft, dass eine Parabel die Menge aller Punkte ist, die vom Brennpunkt und der Leitlinie gleich weit entfernt sind.

Eine der bekanntesten realen Erscheinungen der Parabel ist die Flugbahn eines Wurfkörpers unter Schwerkraft (ohne Luftwiderstand), die Galileo Galilei im 17. Jahrhundert experimentell entdeckte. Parabolspiegel werden in Taschenlampen und Autoscheinwerfern verwendet, um eine punktförmige Lichtquelle im Brennpunkt in ein Parallellichtbündel umzuwandeln.

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