Graficador y calculadora de función cuadrática — Vértice y raíces
Grafica gratis y = ax² + bx + c al introducir a, b y c. Calcula al instante el vértice, eje de simetría, discriminante y raíces reales, y consulta coordenadas en la parábola.
Qué es la gráfica de una función cuadrática
Una función cuadrática se escribe y = ax² + bx + c, y su gráfica es una parábola: una curva simétrica respecto de una recta vertical. La a determina la abertura: positiva, se abre hacia arriba; negativa, hacia abajo; y cuanto mayor es su valor absoluto, más estrecha resulta. Si a vale cero, el término en x² desaparece y queda una recta, con lo que ya no cabe tratarla como cuadrática.
Esta herramienta traza la parábola a partir de esos tres coeficientes y obtiene a la vez el vértice, el eje de simetría, el discriminante D, la naturaleza de las raíces reales y la ordenada en el origen. La abscisa del vértice sale de x = −b ÷ (2a), y ese punto es el mínimo cuando a es positiva y el máximo cuando es negativa. El signo del discriminante D = b² − 4ac decide si la gráfica corta al eje x en dos puntos, lo toca o no lo alcanza. El intervalo de x mostrado puede cambiarse, de modo que puede acercarse al vértice o mirar lo que ocurre más lejos.
Cómo usar la gráfica de la función cuadrática
- Escriba los tres coeficientes Introduzca a, b y c y la parábola se traza. Poner a en cero no deja función cuadrática alguna, y un aviso lo señala.
- Fije el intervalo de x Indique xMin y xMax para mostrar solo el tramo que quiera. Si xMin no queda por debajo de xMax no hay intervalo, y sigue un aviso.
- Lea el vértice y el eje Las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría aparecen solas. El vértice se marca en la gráfica, de modo que se ve dónde queda el mínimo o el máximo.
- Deduzca las raíces del discriminante Un D positivo se lee como dos raíces reales distintas; cero, como una raíz doble; y un D negativo, como ninguna raíz real, con lo que queda dicho de una vez cómo se sitúa la gráfica respecto del eje x.
- Halle la y de una x concreta Escriba un número en el campo de x y se calcula la y correspondiente, con más exactitud de la que daría leerla sobre la curva.
Consejos para aprovecharla mejor
- El coeficiente cuadrático a determina la forma de la parábola. Si a > 0, abre hacia arriba; si a < 0, abre hacia abajo. Cuanto mayor es |a|, más estrecha es la parábola.
- La coordenada x del vértice es x = −b ÷ (2a). El vértice es el punto mínimo cuando a > 0 o el máximo cuando a < 0, y se muestra como un diamante azul en la gráfica.
- El discriminante D = b² − 4ac determina el número de raíces reales. D > 0: la parábola corta el eje x en 2 puntos (puntos verdes); D = 0: lo toca (raíz doble); D < 0: no hay intersección.
- Pasa el cursor sobre la gráfica para ver las coordenadas (x, y) en cualquier punto. Ingresa un valor de x a la izquierda para calcular el y correspondiente.
Dónde ayuda la gráfica de la función cuadrática
Estudiar y comprobar matemáticas escolares
Vuelva a trazar la curva cambiando poco a poco los coeficientes y verá cómo a, b y c influyen cada uno en su forma y su posición. Sirve además para comprobar un vértice o una raíz obtenidos completando cuadrados o con la fórmula.
Ver la relación entre el discriminante y los cortes
Trace la curva cambiando el signo de D y los tres casos —cortar el eje x dos veces, tocarlo, no alcanzarlo— se presentan como formas que se ven de verdad.
Problemas de máximo o de mínimo
En las preguntas habituales sobre el precio que hace máximo el beneficio o el lado que hace máxima el área, lo que se busca es la posición del vértice.
Describir el movimiento de un proyectil
La trayectoria de un cuerpo sometido solo a la gravedad dibuja una parábola. La altura cambiante de algo lanzado hacia arriba se escribe como una cuadrática con el tiempo por x.
Compararla con otras curvas
Para contrastarla con una recta, use la gráfica de la función lineal; para subir un grado, la gráfica de la función cúbica.
Términos sobre la función cuadrática
- Función cuadrática
- Función de la forma y = ax² + bx + c con a distinto de cero. Recibe el nombre porque la mayor potencia de x es dos, y su gráfica es una parábola.
- Parábola
- La curva simétrica que describe la gráfica de una función cuadrática. Su nombre viene de la trayectoria que sigue un cuerpo lanzado.
- Vértice
- El punto de retorno de la parábola. Su abscisa es x = −b ÷ (2a), y da el mínimo de la función cuando a es positiva y el máximo cuando es negativa.
- Eje de simetría
- La recta vertical que parte la parábola en dos mitades especulares y pasa por el vértice. Su ecuación es x = −b ÷ (2a).
- Discriminante
- El valor D = b² − 4ac. Si D es mayor que cero hay dos raíces reales distintas; si vale cero, una raíz doble; si es menor que cero no hay raíces reales y la gráfica nunca corta al eje x.
- Raíz doble
- El caso en que las dos raíces coinciden en un mismo valor. Se da cuando el discriminante es cero, y entonces la gráfica toca el eje x.
- Completar cuadrados
- Reescribir la función en la forma y = a(x − p)² + q. Escrita así, el vértice queda a la vista: es (p, q).
Preguntas frecuentes
A propósito — El origen de la palabra "parábola"
El nombre "parábola" fue acuñado por el matemático griego Apolonio de Perga (c. 262-190 a. C.) al estudiar las secciones cónicas. La palabra griega "παραβολή" (parabolé) significa "colocado al lado", en referencia a la propiedad geométrica de que una parábola es el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una directriz.
Una de las apariciones más famosas de las parábolas en el mundo real es la trayectoria de un proyectil bajo la gravedad (ignorando la resistencia del aire), descubierta experimentalmente por Galileo Galilei en el siglo XVII. Los espejos parabólicos se usan en linternas y faros de automóviles para convertir una fuente de luz puntual en un haz paralelo.