Grafico e calcolo della funzione quadratica — vertice, asse e soluzioni automatici

Basta inserire i coefficienti per tracciare gratuitamente la parabola. Calcola automaticamente vertice, asse di simmetria, discriminante e soluzioni reali, e ne mostra le coordinate sul grafico.

Consigli

  • Il coefficiente del termine quadratico determina la forma del grafico: se è positivo la parabola volge la concavità verso l'alto, se è negativo verso il basso. Quanto maggiore è il suo valore assoluto, tanto più la parabola risulta stretta.
  • L'ascissa del vertice si ricava dividendo il coefficiente lineare cambiato di segno per il doppio di quello quadratico. Il vertice è il punto di minimo, con coefficiente positivo, o di massimo, con coefficiente negativo, ed è indicato sul grafico da un rombo azzurro.
  • Il segno del discriminante, cioè il quadrato del coefficiente lineare meno quattro volte il prodotto degli altri due, determina il numero di soluzioni reali: se è positivo la parabola incontra l'asse delle ascisse in due punti, indicati in verde; se è nullo lo tocca in un punto; se è negativo non lo incontra.
  • Passando il puntatore sul grafico si leggono le coordinate di qualunque punto. Inserendo un valore nel campo dell'ascissa a sinistra si calcola automaticamente la corrispondente ordinata.

Domande frequenti

Annullandolo scompare il termine di secondo grado e la funzione diventa di primo grado, o addirittura costante. Poiché lo strumento serve a rappresentare le funzioni quadratiche, quel valore non è ammesso: per tracciare una retta usate lo strumento dedicato alla funzione lineare.

È il valore che stabilisce quante soluzioni reali abbia l'equazione di secondo grado: si ottiene sottraendo al quadrato del coefficiente lineare quattro volte il prodotto del coefficiente quadratico per il termine noto. Se è positivo ci sono due soluzioni reali distinte, se è nullo una soluzione doppia, se è negativo nessuna soluzione reale, cioè soltanto soluzioni complesse. Sul grafico ciò corrisponde a una parabola che incontra l'asse delle ascisse in due punti, lo tocca in uno oppure non lo incontra affatto.

Completando il quadrato si trasforma la forma generale in quella con il vertice, in cui compaiono direttamente le coordinate del vertice. Lo strumento accetta la forma generale e calcola automaticamente le coordinate del vertice.

Sì. Cambiando i coefficienti il grafico si aggiorna in tempo reale e si comprende intuitivamente come ciascuno di essi ne influenzi la forma: si presta allo studio delle funzioni quadratiche negli ultimi anni della scuola secondaria.
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A proposito — l'origine della parola parabola

Il nome «parabola» fu coniato dal matematico greco Apollonio, vissuto fra il 262 e il 190 avanti Cristo circa, nei suoi studi sulle sezioni coniche. Il termine greco significa «porre accanto» ed esprime il fatto che si tratti del luogo dei punti equidistanti da un punto, il fuoco, e da una retta, la direttrice.

L'esempio più celebre di parabola nel mondo reale è la traiettoria di un corpo lanciato, trascurando la resistenza dell'aria: la scoprì sperimentalmente Galileo Galilei nel Seicento. Anche i riflettori delle torce e dei fari delle automobili adottano una superficie parabolica, ottenuta ruotando una parabola, che trasforma in raggi paralleli la luce emessa da una sorgente posta nel fuoco.

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