Grafico e calcolo della funzione quadratica — vertice, asse e soluzioni automatici

Basta inserire i coefficienti per tracciare gratuitamente la parabola. Calcola automaticamente vertice, asse di simmetria, discriminante e soluzioni reali, e ne mostra le coordinate sul grafico.

Che cos’è il grafico di una funzione quadratica

Una funzione quadratica si scrive y = ax² + bx + c e il suo grafico è una parabola: una curva simmetrica rispetto a una retta verticale. La a stabilisce l’apertura: positiva, si apre verso l’alto; negativa, verso il basso; e quanto maggiore il suo valore assoluto, tanto più stretta diviene. Se a vale zero il termine in x² sparisce e resta una retta, sicché non la si può più trattare come quadratica.

Questo strumento traccia la parabola da quei tre coefficienti e ricava insieme il vertice, l’asse di simmetria, il discriminante Δ, la natura delle radici reali e l’intercetta sull’asse y. L’ascissa del vertice discende da x = −b ÷ (2a), e quel punto è il minimo quando a è positiva, il massimo quando è negativa. Il segno del discriminante Δ = b² − 4ac decide se il grafico tagli l’asse x in due punti, lo tocchi o non lo raggiunga. L’intervallo di x mostrato si può cambiare, sicché può ingrandire il vertice o osservare che cosa accada più in là.

Come si usa il grafico

Inserisca i tre coefficienti Indichi a, b e c e la parabola viene tracciata. Porre a a zero non lascia più alcuna funzione quadratica, e un avviso lo segnala.
Fissi l’intervallo di x Indichi xMin e xMax per mostrare il solo tratto voluto. Se xMin non è minore di xMax non vi è intervallo, e segue un avviso.
Legga vertice e asse Le coordinate del vertice e l’equazione dell’asse di simmetria compaiono da sole. Il vertice è contrassegnato sul grafico, sicché si vede dove stia il minimo o il massimo.
Deduca le radici dal discriminante Un Δ positivo si legge come due radici reali distinte, nullo come una radice doppia, negativo come nessuna radice reale: e con ciò resta detto come il grafico si ponga rispetto all’asse x.
Trovi la y per una x determinata Scriva un numero nel campo della x e viene calcolata la y corrispondente, con maggiore esattezza di quanta se ne ottenga leggendola sulla curva.

Consigli per sfruttarlo al meglio

Il coefficiente del termine quadratico determina la forma del grafico: se è positivo la parabola volge la concavità verso l'alto, se è negativo verso il basso. Quanto maggiore è il suo valore assoluto, tanto più la parabola risulta stretta.
L'ascissa del vertice si ricava dividendo il coefficiente lineare cambiato di segno per il doppio di quello quadratico. Il vertice è il punto di minimo, con coefficiente positivo, o di massimo, con coefficiente negativo, ed è indicato sul grafico da un rombo azzurro.
Il segno del discriminante, cioè il quadrato del coefficiente lineare meno quattro volte il prodotto degli altri due, determina il numero di soluzioni reali: se è positivo la parabola incontra l'asse delle ascisse in due punti, indicati in verde; se è nullo lo tocca in un punto; se è negativo non lo incontra.
Passando il puntatore sul grafico si leggono le coordinate di qualunque punto. Inserendo un valore nel campo dell'ascissa a sinistra si calcola automaticamente la corrispondente ordinata.

Dove il grafico è utile

Studiare e controllare la matematica della scuola

Ritracci la curva mutando i coefficienti a poco a poco e vedrà come a, b e c pesino ciascuno sulla forma e sulla posizione. Serve inoltre a verificare un vertice o una radice ottenuti col completamento del quadrato o con la formula risolutiva.

Vedere il legame fra discriminante e intersezioni

Tracci mutando il segno di Δ e i tre casi – tagliare l’asse x due volte, toccarlo, mancarlo – si presentano come forme che si vedono davvero.

Problemi di massimo o di minimo

Nelle domande consuete sul prezzo che rende massimo il profitto o sul lato che rende massima l’area, ciò che si cerca è la posizione del vertice.

Descrivere il moto di un proiettile

La traiettoria di un corpo soggetto alla sola gravità disegna una parabola. L’altezza mutevole di un oggetto lanciato in alto si scrive come una quadratica con il tempo al posto di x.

Confrontarlo con altre curve

Per contrapporlo a una retta usi il grafico della funzione lineare; per salire di un grado, il grafico della funzione cubica.

Termini sulla funzione quadratica

Funzione quadratica: Funzione della forma y = ax² + bx + c con a diverso da zero. Prende il nome dal fatto che la massima potenza di x è due, e il suo grafico è una parabola.
Parabola: La curva simmetrica descritta dal grafico di una funzione quadratica. Il nome le viene dalla traiettoria che segue un corpo lanciato.
Vertice: Il punto di inversione della parabola. La sua ascissa è x = −b ÷ (2a) e dà il minimo della funzione quando a è positiva, il massimo quando è negativa.
Asse di simmetria: La retta verticale che divide la parabola in due metà speculari e passa per il vertice. La sua equazione è x = −b ÷ (2a).
Discriminante: Il valore Δ = b² − 4ac. Se Δ è maggiore di zero vi sono due radici reali distinte; se è nullo, una radice doppia; se è minore di zero non vi sono radici reali e il grafico non incontra mai l’asse x.
Radice doppia: Il caso in cui le due radici cadono sul medesimo valore. Si ha quando il discriminante è nullo, e allora il grafico tocca l’asse x.
Completamento del quadrato: La riscrittura nella forma y = a(x − p)² + q. Scritta così, la funzione lascia vedere il proprio vertice: è (p, q).

Domande frequenti

Annullandolo scompare il termine di secondo grado e la funzione diventa di primo grado, o addirittura costante. Poiché lo strumento serve a rappresentare le funzioni quadratiche, quel valore non è ammesso: per tracciare una retta usate lo strumento dedicato alla funzione lineare.

È il valore che stabilisce quante soluzioni reali abbia l'equazione di secondo grado: si ottiene sottraendo al quadrato del coefficiente lineare quattro volte il prodotto del coefficiente quadratico per il termine noto. Se è positivo ci sono due soluzioni reali distinte, se è nullo una soluzione doppia, se è negativo nessuna soluzione reale, cioè soltanto soluzioni complesse. Sul grafico ciò corrisponde a una parabola che incontra l'asse delle ascisse in due punti, lo tocca in uno oppure non lo incontra affatto.

Completando il quadrato si trasforma la forma generale in quella con il vertice, in cui compaiono direttamente le coordinate del vertice. Lo strumento accetta la forma generale e calcola automaticamente le coordinate del vertice.

Sì. Cambiando i coefficienti il grafico si aggiorna in tempo reale e si comprende intuitivamente come ciascuno di essi ne influenzi la forma: si presta allo studio delle funzioni quadratiche negli ultimi anni della scuola secondaria.

A proposito — l'origine della parola parabola

Il nome «parabola» fu coniato dal matematico greco Apollonio, vissuto fra il 262 e il 190 avanti Cristo circa, nei suoi studi sulle sezioni coniche. Il termine greco significa «porre accanto» ed esprime il fatto che si tratti del luogo dei punti equidistanti da un punto, il fuoco, e da una retta, la direttrice.

L'esempio più celebre di parabola nel mondo reale è la traiettoria di un corpo lanciato, trascurando la resistenza dell'aria: la scoprì sperimentalmente Galileo Galilei nel Seicento. Anche i riflettori delle torce e dei fari delle automobili adottano una superficie parabolica, ottenuta ruotando una parabola, che trasforma in raggi paralleli la luce emessa da una sorgente posta nel fuoco.

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