二次函数图像生成与计算器｜自动求顶点、对称轴和根
输入a、b、c即可免费绘制 y = ax² + bx + c 的抛物线，自动计算顶点、对称轴、判别式和实数根，并可在图像上查看坐标。
什么是二次函数的图像
二次函数以 y = ax² + bx + c 的形式表示，其图像是称为抛物线的左右对称曲线。a 决定开口方向，为正则开口向上，为负则开口向下，绝对值越大曲线越窄。若 a 为0，x² 项便消失而成为直线，因而不能再作为二次函数处理。
本工具只需填入三个系数即可绘出抛物线，并一并算出顶点、对称轴、判别式 D、实根的种类与 y 截距。顶点的 x 坐标由 x = −b ÷ (2a) 求得，该处在 a > 0 时为最小值、a < 0 时为最大值。判别式 D = b² − 4ac 的正负，决定图像与 x 轴交于两点、相切，抑或不相交。x 的显示范围亦可更改，故可放大顶点附近，或查看远处的走势。
二次函数图像的使用方法
- 输入三个系数 填入二次项系数 a、一次项系数 b 与常数项 c，抛物线便会绘出。若 a 填0则不成其为二次函数，会给出相应的错误提示。
- 决定 x 的显示范围 指定 xMin 与 xMax，即可只显示想看的范围。若 xMin 不小于 xMax 则不成其为范围，会报错。
- 读取顶点与对称轴 顶点的坐标与对称轴的式子会自动显示。顶点会在图像上标出，故可用肉眼确认最小值、最大值的位置。
- 由判别式了解根的情形 判别式 D 为正则显示为两个相异实根，为0则为重根，为负则为无实根。图像与 x 轴的关系亦随之明了。
- 求特定 x 所对应的 y 在「x 的值」中填入数字，即会算出对应的 y，可得到比从曲线上读取更为准确的数值。
用好本工具的小技巧
- 二次系数 a 决定抛物线的开口方向。a > 0 时开口向上，a < 0 时开口向下。|a| 越大，抛物线越窄。
- 顶点的 x 坐标为 x = −b ÷ (2a)。顶点是 a > 0 时的最小值点或 a < 0 时的最大值点，在图像上以蓝色菱形标出。
- 判别式 Δ = b² − 4ac 决定实数根的个数。Δ > 0：与 x 轴交于两点（绿点）；Δ = 0：与 x 轴相切（重根）；Δ < 0：与 x 轴不相交。
- 将鼠标悬停在图像上可查看任意点的 (x, y) 坐标。在左侧输入 x 值可自动计算对应的 y 值。
二次函数图像的应用场景
与二次函数相关的术语
- 二次函数
- 指以 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的形式表示的函数。因 x 的最高次数为2而得名，其图像为抛物线。
- 抛物线
- 指二次函数的图像所描出的左右对称曲线。因抛出物体时的轨迹即为此形而得名。
- 顶点
- 指抛物线的折返点。x 坐标由 x = −b ÷ (2a) 求得，a > 0 时给出函数的最小值，a < 0 时给出最大值。
- 对称轴
- 指把抛物线左右对称地二等分、并通过顶点的竖直直线。其式为 x = −b ÷ (2a)。
- 判别式
- 指由 D = b² − 4ac 计算所得的值。D > 0 为两个相异实根，D = 0 为重根，D < 0 则无实根，图像不与 x 轴相交。
- 重根
- 指两个根重合于同一数值的状态。判别式为0时发生，此时图像与 x 轴相切。
- 配方法
- 指改写为 y = a(x − p)² + q 的变形。写成此形后，顶点为 (p, q) 便一目了然。
常见问题
a = 0 时二次项消失，函数变为 y = bx + c（一次函数或常数）。本工具专用于二次函数可视化，因此不接受 a = 0。如需绘制直线，请使用"一次函数图像"工具。
判别式 Δ = b² − 4ac 用于判断方程 ax² + bx + c = 0 的实数根个数。Δ > 0：两个不等实根；Δ = 0：重根（相同的根重复两次）；Δ < 0：无实数根（仅有复数根）。在图像上，Δ > 0 表示抛物线与 x 轴交于两点，Δ = 0 表示相切，Δ < 0 表示不相交。
对 y = ax² + bx + c 进行配方，可得顶点式 y = a(x − p)² + q，其中 p = −b/(2a)，q = c − b²/(4a)。本工具接受一般式输入，并自动计算并显示顶点坐标 (p, q)。
适合。改变 a、b、c 的值，图像会实时更新，便于直观理解各系数对图像形状的影响，适用于初中至高中数学的二次函数学习。
闲话 ― "抛物线"名称的由来
"抛物线（parabola）"这一名称由古希腊数学家阿波罗尼乌斯（约公元前 262—前 190 年）在研究圆锥曲线时命名。希腊语"παραβολή"（parabole）意为"并排放置"，指的是抛物线上的点到焦点和准线距离相等这一几何性质。
在现实世界中，抛物线最著名的出现是忽略空气阻力时抛体的运动轨迹，由伽利略在 17 世纪通过实验发现。手电筒和汽车前照灯的反射镜采用旋转抛物面，能将焦点处的光源转换为平行光束。