二次函式影像生成與計算器｜自動求頂點、對稱軸和根
輸入a、b、c即可免費繪製 y = ax² + bx + c 的拋物線，自動計算頂點、對稱軸、判別式和實數根，並可在影像上檢視座標。
使用技巧
- 二次係數 a 決定拋物線的開口方向。a > 0 時開口向上，a < 0 時開口向下。|a| 越大，拋物線越窄。
- 頂點的 x 座標為 x = −b ÷ (2a)。頂點是 a > 0 時的最小值點或 a < 0 時的最大值點，在影像上以藍色菱形標出。
- 判別式 Δ = b² − 4ac 決定實數根的個數。Δ > 0：與 x 軸交於兩點（綠點）；Δ = 0：與 x 軸相切（重根）；Δ < 0：與 x 軸不相交。
- 將滑鼠懸停在影像上可檢視任意點的 (x, y) 座標。在左側輸入 x 值可自動計算對應的 y 值。
常見問題
a = 0 時二次項消失，函式變為 y = bx + c（一次函式或常數）。本工具專用於二次函式視覺化，因此不接受 a = 0。如需繪製直線，請使用"一次函式影像"工具。
判別式 Δ = b² − 4ac 用於判斷方程 ax² + bx + c = 0 的實數根個數。Δ > 0：兩個不等實根；Δ = 0：重根（相同的根重複兩次）；Δ < 0：無實數根（僅有複數根）。在影像上，Δ > 0 表示拋物線與 x 軸交於兩點，Δ = 0 表示相切，Δ < 0 表示不相交。
對 y = ax² + bx + c 進行配方，可得頂點式 y = a(x − p)² + q，其中 p = −b/(2a)，q = c − b²/(4a)。本工具接受一般式輸入，並自動計算並顯示頂點座標 (p, q)。
適合。改變 a、b、c 的值，影像會即時更新，便於直觀理解各系數對影像形狀的影響，適用於初中至高中數學的二次函式學習。
閒話 ― "拋物線"名稱的由來
"拋物線（parabola）"這一名稱由古希臘數學家阿波羅尼烏斯（約西元前 262—前 190 年）在研究圓錐曲線時命名。希臘語"παραβολή"（parabole）意為"並排放置"，指的是拋物線上的點到焦點和準線距離相等這一幾何性質。
在現實世界中，拋物線最著名的出現是忽略空氣阻力時拋體的運動軌跡，由伽利略在 17 世紀通過實驗發現。手電筒和汽車前照燈的反射鏡採用旋轉拋物面，能將焦點處的光源轉換為平行光束。