二次函式影像生成與計算器｜自動求頂點、對稱軸和根
輸入a、b、c即可免費繪製 y = ax² + bx + c 的拋物線，自動計算頂點、對稱軸、判別式和實數根，並可在影像上檢視座標。
什麼是二次函數的圖形
二次函數以 y = ax² + bx + c 的形式表示，其圖形是稱為拋物線的左右對稱曲線。a 決定開口方向，為正則開口向上，為負則開口向下，絕對值越大曲線越窄。若 a 為0，x² 項便消失而成為直線，因而不能再作為二次函數處理。
本工具只需填入三個係數即可繪出拋物線，並一併算出頂點、對稱軸、判別式 D、實根的種類與 y 截距。頂點的 x 座標由 x = −b ÷ (2a) 求得，該處在 a > 0 時為最小值、a < 0 時為最大值。判別式 D = b² − 4ac 的正負，決定圖形與 x 軸交於兩點、相切，抑或不相交。x 的顯示範圍亦可更改，故可放大頂點附近，或查看遠處的走勢。
二次函數圖形的使用方式
- 輸入三個係數 填入二次項係數 a、一次項係數 b 與常數項 c，拋物線便會繪出。若 a 填0則不成其為二次函數，會給出相應的錯誤提示。
- 決定 x 的顯示範圍 指定 xMin 與 xMax，即可只顯示想看的範圍。若 xMin 不小於 xMax 則不成其為範圍，會報錯。
- 讀取頂點與對稱軸 頂點的座標與對稱軸的式子會自動顯示。頂點會在圖形上標出，故可用肉眼確認最小值、最大值的位置。
- 由判別式了解根的情形 判別式 D 為正則顯示為兩個相異實根，為0則為重根，為負則為無實根。圖形與 x 軸的關係亦隨之明瞭。
- 求特定 x 所對應的 y 在「x 的值」中填入數字，即會算出對應的 y，可得到比從曲線上讀取更為準確的數值。
用好本工具的小技巧
- 二次係數 a 決定拋物線的開口方向。a > 0 時開口向上，a < 0 時開口向下。|a| 越大，拋物線越窄。
- 頂點的 x 座標為 x = −b ÷ (2a)。頂點是 a > 0 時的最小值點或 a < 0 時的最大值點，在影像上以藍色菱形標出。
- 判別式 Δ = b² − 4ac 決定實數根的個數。Δ > 0：與 x 軸交於兩點（綠點）；Δ = 0：與 x 軸相切（重根）；Δ < 0：與 x 軸不相交。
- 將滑鼠懸停在影像上可檢視任意點的 (x, y) 座標。在左側輸入 x 值可自動計算對應的 y 值。
二次函數圖形的應用情境
與二次函數相關的用語
- 二次函數
- 指以 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的形式表示的函數。因 x 的最高次數為2而得名，其圖形為拋物線。
- 拋物線
- 指二次函數的圖形所描出的左右對稱曲線。因拋出物體時的軌跡即為此形而得名。
- 頂點
- 指拋物線的折返點。x 座標由 x = −b ÷ (2a) 求得，a > 0 時給出函數的最小值，a < 0 時給出最大值。
- 對稱軸
- 指把拋物線左右對稱地二等分、並通過頂點的鉛直直線。其式為 x = −b ÷ (2a)。
- 判別式
- 指由 D = b² − 4ac 計算所得的值。D > 0 為兩個相異實根，D = 0 為重根，D < 0 則無實根，圖形不與 x 軸相交。
- 重根
- 指兩個根重合於同一數值的狀態。判別式為0時發生，此時圖形與 x 軸相切。
- 配方法
- 指改寫為 y = a(x − p)² + q 的變形。寫成此形後，頂點為 (p, q) 便一目了然。
常見問題
a = 0 時二次項消失，函式變為 y = bx + c（一次函式或常數）。本工具專用於二次函式視覺化，因此不接受 a = 0。如需繪製直線，請使用"一次函式影像"工具。
判別式 Δ = b² − 4ac 用於判斷方程 ax² + bx + c = 0 的實數根個數。Δ > 0：兩個不等實根；Δ = 0：重根（相同的根重複兩次）；Δ < 0：無實數根（僅有複數根）。在影像上，Δ > 0 表示拋物線與 x 軸交於兩點，Δ = 0 表示相切，Δ < 0 表示不相交。
對 y = ax² + bx + c 進行配方，可得頂點式 y = a(x − p)² + q，其中 p = −b/(2a)，q = c − b²/(4a)。本工具接受一般式輸入，並自動計算並顯示頂點座標 (p, q)。
適合。改變 a、b、c 的值，影像會即時更新，便於直觀理解各系數對影像形狀的影響，適用於初中至高中數學的二次函式學習。
閒話 ― "拋物線"名稱的由來
"拋物線（parabola）"這一名稱由古希臘數學家阿波羅尼烏斯（約西元前 262—前 190 年）在研究圓錐曲線時命名。希臘語"παραβολή"（parabole）意為"並排放置"，指的是拋物線上的點到焦點和準線距離相等這一幾何性質。
在現實世界中，拋物線最著名的出現是忽略空氣阻力時拋體的運動軌跡，由伽利略在 17 世紀通過實驗發現。手電筒和汽車前照燈的反射鏡採用旋轉拋物面，能將焦點處的光源轉換為平行光束。