Gráfico e calculadora de função quadrática — Vértice e raízes
Crie grátis o gráfico y = ax² + bx + c informando a, b e c. Calcule na hora o vértice, eixo de simetria, discriminante e raízes reais e confira coordenadas na parábola.
O que é o gráfico de uma função quadrática
Uma função quadrática escreve-se y = ax² + bx + c, e o seu gráfico é uma parábola: uma curva simétrica em relação a uma reta vertical. O a determina a abertura: positivo, abre para cima; negativo, para baixo; e quanto maior o seu valor absoluto, mais estreita fica. Se a vale zero, o termo em x² desaparece e resta uma reta, de modo que já não cabe tratá-la como quadrática.
Esta ferramenta traça a parábola a partir desses três coeficientes e obtém ao mesmo tempo o vértice, o eixo de simetria, o discriminante D, a natureza das raízes reais e a interseção com o eixo y. A abscissa do vértice sai de x = −b ÷ (2a), e esse ponto é o mínimo quando a é positivo e o máximo quando é negativo. O sinal do discriminante D = b² − 4ac decide se o gráfico corta o eixo x em dois pontos, o toca ou não o alcança. O intervalo de x exibido pode ser mudado, de modo que dá para aproximar-se do vértice ou olhar o que acontece mais longe.
Como usar o gráfico da função quadrática
- Escreva os três coeficientes Informe a, b e c e a parábola é traçada. Pôr a em zero não deixa função quadrática alguma, e um aviso o assinala.
- Fixe o intervalo de x Indique xMin e xMax para mostrar só o trecho que quiser. Se xMin não ficar abaixo de xMax não há intervalo, e segue um aviso.
- Leia o vértice e o eixo As coordenadas do vértice e a equação do eixo de simetria aparecem sozinhas. O vértice é marcado no gráfico, de modo que se vê onde fica o mínimo ou o máximo.
- Deduza as raízes do discriminante Um D positivo lê-se como duas raízes reais distintas; zero, como uma raiz dupla; e um D negativo, como nenhuma raiz real, ficando dito de uma vez como o gráfico se situa em relação ao eixo x.
- Ache o y de um x determinado Escreva um número no campo de x e calcula-se o y correspondente, com mais exatidão do que daria lê-lo sobre a curva.
Dicas para aproveitar melhor
- O coeficiente quadrático a determina a forma da parábola. Se a > 0, abre para cima; se a < 0, abre para baixo. Quanto maior |a|, mais estreita é a parábola.
- A coordenada x do vértice é x = −b ÷ (2a). O vértice é o ponto mínimo quando a > 0 ou o máximo quando a < 0, exibido como um diamante azul no gráfico.
- O discriminante Δ = b² − 4ac determina o número de raízes reais. Δ > 0: a parábola corta o eixo x em 2 pontos (pontos verdes); Δ = 0: tangencia (raiz dupla); Δ < 0: sem intersecção.
- Passe o cursor sobre o gráfico para ver as coordenadas (x, y) em qualquer ponto. Insira um valor de x à esquerda para calcular o y correspondente.
Onde o gráfico da função quadrática ajuda
Estudar e conferir matemática escolar
Volte a traçar a curva mudando aos poucos os coeficientes e verá como a, b e c influem cada um na sua forma e na sua posição. Serve ainda para conferir um vértice ou uma raiz obtidos completando quadrados ou pela fórmula.
Ver a relação entre o discriminante e os cortes
Trace a curva mudando o sinal de D e os três casos — cortar o eixo x duas vezes, tocá-lo, não alcançá-lo — apresentam-se como formas que se veem de fato.
Problemas de máximo ou de mínimo
Nas perguntas habituais sobre o preço que torna máximo o lucro ou o lado que torna máxima a área, o que se busca é a posição do vértice.
Descrever o movimento de um projétil
A trajetória de um corpo sujeito só à gravidade desenha uma parábola. A altura cambiante de algo lançado para cima escreve-se como uma quadrática com o tempo por x.
Compará-la com outras curvas
Para contrastá-la com uma reta, use o gráfico da função afim; para subir um grau, o gráfico da função cúbica.
Termos sobre a função quadrática
- Função quadrática
- Função da forma y = ax² + bx + c com a diferente de zero. Recebe o nome porque a maior potência de x é dois, e o seu gráfico é uma parábola.
- Parábola
- A curva simétrica que o gráfico de uma função quadrática descreve. O seu nome vem da trajetória que segue um corpo lançado.
- Vértice
- O ponto de retorno da parábola. A sua abscissa é x = −b ÷ (2a), e dá o mínimo da função quando a é positivo e o máximo quando é negativo.
- Eixo de simetria
- A reta vertical que parte a parábola em duas metades especulares e passa pelo vértice. A sua equação é x = −b ÷ (2a).
- Discriminante
- O valor D = b² − 4ac. Se D é maior que zero há duas raízes reais distintas; se vale zero, uma raiz dupla; se é menor que zero não há raízes reais e o gráfico nunca corta o eixo x.
- Raiz dupla
- O caso em que as duas raízes coincidem num mesmo valor. Dá-se quando o discriminante é zero, e então o gráfico toca o eixo x.
- Completar quadrados
- Reescrever a função na forma y = a(x − p)² + q. Escrita assim, o vértice fica à vista: é (p, q).
Perguntas frequentes
Curiosidade — A origem da palavra "parábola"
O nome "parábola" foi cunhado pelo matemático grego Apolônio de Perga (c. 262–190 a.C.) ao estudar as seções cônicas. A palavra grega "παραβολή" (parabolé) significa "colocado ao lado", referindo-se à propriedade geométrica de que uma parábola é o conjunto de pontos equidistantes de um foco e uma diretriz.
Uma das aparições mais famosas das parábolas no mundo real é a trajetória de um projétil sob a gravidade (ignorando a resistência do ar), descoberta experimentalmente por Galileu Galilei no século XVII. Espelhos parabólicos são usados em lanternas e faróis de automóveis para converter uma fonte de luz pontual em um feixe paralelo.