Calcolatrice dei numeri figurati (triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali)

Calcola dal primo all'ennesimo termine i numeri triangolari, quadrati, pentagonali ed esagonali e li confronta in un grafico. Si può ricavare subito anche il valore di un singolo termine. Comprende un prospetto dei primi quindici termini.

Prospetto dei primi quindici numeri triangolari, quadrati, pentagonali ed esagonali

Un prospetto che raccoglie, per i quattro tipi di numeri figurati, i valori dal primo al quindicesimo termine.

n Numeri triangolari Numeri quadrati Numeri pentagonali Numeri esagonali
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15
4 10 16 22 28
5 15 25 35 45
6 21 36 51 66
7 28 49 70 91
8 36 64 92 120
9 45 81 117 153
10 55 100 145 190
11 66 121 176 231
12 78 144 210 276
13 91 169 247 325
14 105 196 287 378
15 120 225 330 435

Che cosa sono i numeri figurati

Un numero figurato conta i punti quando li si dispone con regolarità a formare un poligono. Disposti a triangolo danno i numeri triangolari 1, 3, 6, 10 e via dicendo; a quadrato, i quadrati 1, 4, 9, 16; a pentagono, i pentagonali 1, 5, 12, 22. I numeri quadrati coincidono con i quadrati perfetti perché i punti disposti a quadrato fanno esattamente n × n: un esempio piano di geometria e algebra che si incontrano di fronte.

Ogni famiglia possiede una forma chiusa semplice: n(n+1)/2 per i triangolari, n² per i quadrati, n(3n−1)/2 per i pentagonali e n(2n−1) per gli esagonali. Si conoscono anche relazioni fra loro: due numeri triangolari consecutivi sommati danno un numero quadrato, e gli esagonali coincidono con i triangolari di indice dispari. Veder affiorare questi legami inattesi costituisce buona parte del fascino. Questo strumento calcola dal primo termine all'n-esimo e li confronta su un grafico, e può anche fornire un singolo termine.

Come calcolare i numeri figurati

  1. Scelga la famiglia Selezioni triangolari, quadrati, pentagonali o esagonali.
  2. Indichi quanti termini mostrare Dal primo all'n-esimo compaiono come elenco e come grafico.
  3. Confronti la crescita sul grafico Si vede a colpo d'occhio che quanti più lati ha il poligono, tanto più ripida sale la successione.
  4. Ottenga un singolo termine Per un n grande può chiedere soltanto il valore di quel termine.

Consigli per sfruttarlo al meglio

  • I numeri triangolari, pari a n per n più uno diviso due, contano i punti disposti a formare un triangolo equilatero. La disposizione dei dieci birilli del gioco dei birilli è un esempio del quarto numero triangolare.
  • I numeri quadrati, pari al quadrato di n, contano i punti disposti a formare un quadrato. Sono noti anche per la proprietà secondo cui la somma dei primi numeri dispari dà sempre un quadrato: uno, uno più tre uguale quattro, uno più tre più cinque uguale nove.
  • I numeri pentagonali, pari a n per tre n meno uno diviso due, e quelli esagonali, pari a n per due n meno uno, contano i punti disposti rispettivamente a pentagono e a esagono regolare. Ogni numero esagonale è anche un numero triangolare.
  • Il grafico permette di confrontare la velocità di crescita dei quattro tipi: a parità di indice, più numerosi sono i vertici del poligono, maggiore tende a essere il valore.
  • Lo strumento arriva al millesimo termine. Poiché i valori crescono rapidamente, il numero dei termini rappresentati nel grafico è limitato fra uno e trenta per ragioni di leggibilità.

Quando torna utile

Studiare le successioni

Confronti la derivazione di una forma chiusa con i valori reali per accertare che cosa la formula significhi.

Verificare relazioni fra successioni

Controlli con cifre concrete che due triangolari consecutivi diano davvero un quadrato.

Esercizi di programmazione

Confronti con i valori corretti una funzione che abbia scritto per produrre numeri figurati.

Prepararsi a enigmi e matematica agonistica

I numeri figurati ricorrono spesso nei problemi di teoria dei numeri, e una tavola di valori agevola il cogliere lo schema.

I termini dei numeri figurati

Numero triangolare
Il conteggio dei punti disposti a triangolo, di forma chiusa n(n+1)/2. Equivale alla somma degli interi da uno a n.
Numero quadrato
Il conteggio dei punti disposti a quadrato, ossia n².
Numero pentagonale
Il conteggio dei punti disposti a pentagono regolare, ossia n(3n−1)/2.
Numero esagonale
Il conteggio dei punti disposti a esagono regolare, ossia n(2n−1). Coincidono con i triangolari di indice dispari.
Forma chiusa
Un'espressione che dà l'n-esimo termine di una successione in funzione di n. Ogni famiglia di numeri figurati ne possiede una semplice.
Teorema dei numeri poligonali
Il risultato per cui ogni numero naturale è somma di al più tre triangolari, quattro quadrati o cinque pentagonali.

Domande frequenti

Sommando due numeri triangolari consecutivi si ottiene sempre un numero quadrato: per esempio sei più dieci uguale sedici, cioè quattro al quadrato. Lo si verifica anche geometricamente, perché accostando la disposizione triangolare dei punti a quella successiva si ottiene un quadrato.

Ogni numero esagonale è anche triangolare: precisamente, l'ennesimo esagonale coincide con il triangolare di indice due n meno uno. Per esempio il terzo esagonale, quindici, coincide con il quinto triangolare.

I pentagoni compaiono nei pannelli dei palloni da calcio, e i numeri pentagonali ricorrono nel teorema dei numeri pentagonali di Eulero, negli studi sulle partizioni: sono dunque presenti tanto in geometria quanto in teoria dei numeri. Gli esempi visivi quotidiani sono meno numerosi che per i triangolari e i quadrati, ma il ruolo matematico è rilevante.

Il calcolo arriva al millesimo termine, ma per la leggibilità del grafico il numero dei termini mostrati è limitato fra uno e trenta. Per conoscere il solo valore di un termine elevato, inseritene direttamente l'indice nell'apposito campo.
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A proposito — il mistero dei numeri che i pitagorici videro nelle figure

Lo studio dei numeri figurati, o poligonali, risale alla scuola pitagorica dell'antica Grecia, intorno al sesto secolo avanti Cristo. Convinti che tutto fosse numero, i pitagorici cercavano di comprenderne visivamente le proprietà disponendo sassolini in forme geometriche. Le stesse denominazioni di numeri triangolari e quadrati derivano dalla figura che i punti compongono.

Fra numeri triangolari e quadrati esiste una bella relazione: sommando due numeri triangolari consecutivi si ottiene sempre un quadrato — per esempio sei più dieci uguale sedici, cioè quattro al quadrato — come si comprende intuitivamente disegnando le disposizioni dei punti. Questo genere di dimostrazione geometrica influenzò profondamente lo sviluppo successivo della teoria dei numeri.

I numeri figurati restano oggetto di studio anche nella matematica moderna: la proprietà per cui ogni numero esagonale è anche triangolare e la ricerca dei numeri che soddisfano contemporaneamente più definizioni poligonali sono tuttora esercizi apprezzati di teoria dei numeri. Che tante proprietà scoperte dai pitagorici duemilacinquecento anni fa, senza carta né calcolo scritto, disponendo semplici sassolini, valgano ancora oggi come teoremi corretti non smette di stupire.

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