双曲線グラフ（x²/a² − y²/b² = 1）
a・b を入力して双曲線 x²/a² − y²/b² = 1 を描画。離心率・焦点・漸近線を自動計算します。
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双曲線グラフとは
双曲線グラフは、半軸a・bを入力するだけで x²/a² − y²/b² = 1 の双曲線を描画し、離心率・焦点・頂点・漸近線を自動計算するツールです。双曲線は左右2つの枝からなる図形で、楕円が「2焦点からの距離の和が一定」であるのに対し、双曲線は「2焦点からの距離の差が一定」という対照的な性質を持ちます。
グラフには灰色の破線で漸近線 y = ±(b/a)x も表示されるため、双曲線が遠方でどの直線に近づいていくかを視覚的に確認できます。離心率は常に1より大きく、値が大きいほど双曲線の開き方が急になります。
双曲線グラフの使い方
- 半軸aを入力する 双曲線の頂点までのx軸方向の距離です。0より大きい値を入力します。
- 半軸bを入力する 漸近線の傾きを決めるy軸方向の値です。0より大きい値を入力します。
- グラフを確認する 左右2つの枝からなる双曲線と、漸近線・焦点が同時に描画されます。
- 離心率・焦点・頂点を確認する 自動計算された離心率e・焦点座標・頂点座標・漸近線の式が一覧で表示されます。
使いこなすためのヒント
- 双曲線 x²/a² − y²/b² = 1 は 2 つの双曲の曲線（枝）からなります。右の枝は x ≥ a、左の枝は x ≤ −a の領域にあります。
- 漸近線 y = ±(b/a)x は双曲線が無限遠で近づいていく直線です。グラフ上では灰色の破線で表示されます。
- 離心率 e = √(1 + b²/a²) は常に 1 より大きく、楕円（e < 1）とは逆に、e が大きいほど双曲線は開いた形になります。
- 焦点は (±c, 0) で、c = √(a² + b²) です。グラフ上のオレンジのひし形が焦点を示します。
双曲線グラフの活用シーン
航法システム（LORAN）の仕組みの理解
2つの無線局からの電波到達時間差で位置を特定するLORANは、双曲線の性質（距離の差が一定）を応用しています。
反射望遠鏡の副鏡の設計原理の理解
カセグレン式望遠鏡は双曲面の副鏡を使って焦点を機器後方に引き出しています。双曲線の焦点の性質を可視化して理解できます。
楕円との対比による円錐曲線の学習
離心率が1未満なら楕円、1より大きいなら双曲線という関係を、実際に値を変えてグラフの違いを比較できます。
高校・大学の数学（円錐曲線）の演習
双曲線の標準形・漸近線・焦点の関係を、値を変えながら手を動かして学習できます。
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用語集
- 離心率
- 双曲線の開き具合を表す1より大きい値です。値が大きいほど双曲線の枝が急に開いた形になります。
- 漸近線
- 双曲線が遠方（x→±∞）で限りなく近づいていく直線です。双曲線自体は漸近線に接触しません。
- 焦点
- 双曲線上のすべての点について、2つの焦点からの距離の差が一定になる特別な2点です。
- 頂点
- 双曲線がx軸（または長軸）と交わる点で、双曲線上で焦点に最も近い点です。
- LORAN
- Long Range Navigationの略。2つの無線局からの電波の到達時間差を利用し、双曲線上に船舶や航空機の位置を特定する20世紀の航法システムです。
よくある質問
x²/a² − y²/b² = 1 を満たす点は |x| ≥ a の範囲にのみ存在します。x = 0 付近には点がないため、グラフが左右 2 つの枝に分かれます。
漸近線は双曲線が遠方で限りなく近づいていく直線 y = ±(b/a)x のことです。双曲線は漸近線に触れることはありませんが、x → ±∞ になるにつれて距離がゼロに近づきます。
楕円は「2 焦点からの距離の和が一定」、双曲線は「2 焦点からの距離の差が一定」です。楕円の離心率は 0 < e < 1、双曲線は e > 1 となります。
余談ですが ― 双曲線とナビゲーション
双曲線は「ある 2 定点（焦点）からの距離の差が一定である点の軌跡」として定義されます。この性質は 20 世紀の航法システム LORAN（Long Range Navigation）に応用されました。2 つの無線局が同時に発信した電波の到達時間差から、双曲線上の位置を特定するしくみです。
反射鏡として使われる双曲面（双曲線を回転させた曲面）は天文望遠鏡にも採用されています。カセグレン式望遠鏡では、副鏡に双曲面を使うことで焦点を機器の後方に引き出しています。
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