楕円グラフ（x²/a² + y²/b² = 1）

長半径 a・短半径 b を入力して楕円を描画。面積・周長・離心率・焦点座標を自動計算します。a = b のときは円になります。

楕円グラフとは

楕円グラフは、x軸方向の半径a・y軸方向の半径bを入力するだけで x²/a² + y²/b² = 1 の楕円を描画し、面積・周長（近似）・離心率・焦点座標を自動計算するツールです。a=bのときは楕円が正円になり、円は楕円の特殊な場合であることを実際のグラフで確認できます。

楕円の周長は初等関数では正確な式が存在せず、楕円積分という特殊な積分でしか表せません。このツールではラマヌジャンの近似式を用いて実用上十分な精度で周長を求めています。円錐曲線（円・楕円・放物線・双曲線）の中でも、楕円は惑星の軌道や建築の音響設計など実世界への応用が広い図形です。

長半径 a が x 軸方向、短半径 b が y 軸方向の半径です。a = b のとき、楕円は正円になります。
離心率 e は楕円のつぶれ具合を表す値です。e = 0 が正円、e が 1 に近いほど細長い楕円になります。
面積は πab で正確に求まりますが、周長の公式は初等関数では表せないため、ここではラマヌジャンの近似式 π(3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))) を使っています。
グラフの表示範囲を変えても楕円の形は変わりません。焦点（オレンジのひし形）は長軸上に表示されます。

ケプラーの法則により惑星は楕円軌道を描きます。離心率を変えて軌道の形がどう変化するかを直感的に確認できます。

設計や工作で楕円形の部材の面積・縁の長さが必要なとき、半径から直接計算できます。

離心率0が正円、1に近づくほど細長い楕円になるという関係を、数値とグラフの両方で確認できます。

楕円の標準形と焦点・離心率の関係を、値を変えながら手を動かして学習できます。

離心率: 楕円のつぶれ具合を表す0以上1未満の値です。0のとき正円、1に近いほど細長い楕円になります。
焦点: 楕円上のすべての点について、2つの焦点からの距離の和が一定になる特別な2点です。長軸上に位置します。
長半径・短半径: 楕円の中心から最も遠い点までの距離を長半径、最も近い点までの距離を短半径といいます。x軸・y軸方向のどちらが長半径になるかはaとbの大小で決まります。
楕円積分: 楕円の周長を正確に求める際に現れる積分で、初等関数では閉じた式に書けません。このツールではラマヌジャンの近似式で計算しています。
正円: 長半径と短半径が等しい（a=b）特殊な楕円です。離心率は0になります。

a = b のとき楕円は正円になります。離心率は 0、焦点は中心と重なります。

楕円の周長は楕円積分と呼ばれる積分で表され、a = b（正円）以外では有限の初等関数で閉じた式が存在しません。このツールではラマヌジャンの近似式を使用しており、実用上は十分な精度があります。

a ≥ b のとき長軸は x 軸方向で、焦点は (±c, 0) です（c = √(a²-b²)）。b > a のとき長軸は y 軸方向で、焦点は (0, ±c) です（c = √(b²-a²)）。グラフ上のオレンジのひし形が焦点を示します。

楕円（ellipse）という言葉は古代ギリシャ語の "ἔλλειψις"（elleipsis, 不足・欠如）に由来します。円錐を傾けて切断したとき、断面が「完全な円」から不足した形になることから名付けられたという説があります。

天文学における最大の応用はケプラーの第一法則です。すべての惑星は太陽を一方の焦点とする楕円軌道を描きます（1609 年）。地球軌道の離心率は約 0.0167 でほぼ円に近く、冥王星は約 0.249 と大きな楕円を描きます。