雙曲線圖形（x²/a²−y²/b²=1）
輸入 a 和 b，繪製雙曲線 x²/a² − y²/b² = 1。自動計算離心率、焦點、頂點和漸近線。
什麼是雙曲線圖形？
雙曲線圖形工具只需輸入半軸 a 和 b，即可繪製雙曲線 x²/a² − y²/b² = 1，並自動計算離心率、焦點、頂點和漸近線。雙曲線由左右兩條分支組成，與橢圓「到兩焦點距離之和為定值」的性質相反，雙曲線的特徵是「到兩焦點距離之差為定值」。
圖形上還會以灰色虛線繪製漸近線 y = ±(b/a)x，方便直觀地看出雙曲線向遠處延伸時趨近哪條直線。離心率始終大於 1，數值越大，雙曲線的開口就越大。
雙曲線圖形的使用方法
- 輸入半軸 a 中心到頂點沿 x 軸方向的距離，需輸入大於 0 的值。
- 輸入半軸 b 決定漸近線斜率的 y 軸方向數值，同樣需輸入大於 0 的值。
- 查看圖形 由左右兩條分支組成的雙曲線會與漸近線、焦點一同顯示在同一張圖上。
- 查看離心率、焦點與頂點 自動計算出的離心率 e、焦點座標、頂點座標以及漸近線方程式會以列表形式呈現。
用好本工具的小技巧
- 雙曲線 x²/a² − y²/b² = 1 由兩條分離的分支組成。右側分支位於 x ≥ a，左側分支位於 x ≤ −a。
- 漸近線 y = ±(b/a)x 是雙曲線在無窮遠處趨近但永不接觸的直線，在圖形上以灰色虛線表示。
- 離心率 e = √(1 + b²/a²) 始終大於 1。e 越大，雙曲線的開口越大。
- 焦點位於 (±c, 0)，其中 c = √(a² + b²)。圖形上的橙色菱形標記焦點位置。
雙曲線圖形的應用場景
理解導航系統（LORAN）的原理
LORAN 透過測量兩個無線電臺訊號到達的時間差來確定位置，正是應用了雙曲線「距離差為定值」的性質。
理解反射望遠鏡副鏡的設計原理
卡塞格林式望遠鏡利用雙曲面副鏡將焦點引導至儀器後方，透過圖形可以直觀理解雙曲線焦點的性質。
透過與橢圓對比學習圓錐曲線
離心率小於 1 為橢圓，大於 1 為雙曲線，改變數值即可直接比較兩者圖形的差異。
中學與大學數學（圓錐曲線）練習
透過親自調整參數，可以直觀學習雙曲線的標準方程式、漸近線與焦點之間的關係。
術語表
- 離心率
- 表示雙曲線開口程度、始終大於 1 的數值，數值越大，雙曲線的分支張開得越急。
- 漸近線
- 雙曲線在遠處（x→±∞）無限接近但永不接觸的直線。
- 焦點
- 雙曲線上任意一點到這兩個特殊點的距離之差始終保持不變的兩個點。
- 頂點
- 雙曲線與 x 軸（或長軸）相交的點，也是雙曲線上離焦點最近的點。
- LORAN
- Long Range Navigation 的縮寫，是一種利用兩個無線電臺訊號到達時間差，在雙曲線上確定船隻或飛機位置的 20 世紀航法系統。
常見問題
閒話 ― 雙曲線與導航
雙曲線和橢圓、拋物線一樣，都屬於"圓錐曲線"家族——它們是用同一個圓錐、以不同角度切割後得到的一組曲線。雙曲線的定義帶著一種"差值"的味道：軌跡上任意一點到兩個固定焦點的距離之差，始終保持不變。這個聽起來頗為抽象的性質，後來卻在 20 世紀的航海技術中意外地派上了大用場。
這便是 LORAN（遠端無線電導航）系統的原理所在。船隻接收來自兩個岸基電臺的無線電訊號，通過測量兩者到達的時間差，就能確定自己位於以這兩個電臺為焦點的某條雙曲線上；再結合第二組電臺得到的另一條雙曲線，兩條曲線的交點便是船隻的實際位置。這種利用幾何性質進行定位的思路，後來也成為衛星導航系統的重要理論基礎。
雙曲線的用武之地並不止於航海。將雙曲線繞其軸旋轉一週會得到一種曲面——雙曲面，它同樣具備優秀的光學反射性質，因此被應用在卡塞格林式望遠鏡的設計中：凸雙曲面副鏡將光線經主鏡反射後再次精確聚焦，並從主鏡中央的小孔穿出，使觀測者可以站在望遠鏡的後方而非前方進行觀測。從確定船隻在大洋中的座標，到幫助天文學家看清遙遠的星系，雙曲線這條"由差值定義"的曲線，展現出了遠超其抽象定義的實用價值。