雙曲線圖形（x²/a²−y²/b²=1）
輸入 a 和 b，繪製雙曲線 x²/a² − y²/b² = 1。自動計算離心率、焦點、頂點和漸近線。
提示
- 雙曲線 x²/a² − y²/b² = 1 由兩條分離的分支組成。右側分支位於 x ≥ a，左側分支位於 x ≤ −a。
- 漸近線 y = ±(b/a)x 是雙曲線在無窮遠處趨近但永不接觸的直線，在圖形上以灰色虛線表示。
- 離心率 e = √(1 + b²/a²) 始終大於 1。e 越大，雙曲線的開口越大。
- 焦點位於 (±c, 0)，其中 c = √(a² + b²)。圖形上的橙色菱形標記焦點位置。
常見問題
方程 x²/a² − y²/b² = 1 要求 |x| ≥ a，因此 x = 0 附近沒有點。曲線分為右側分支（x ≥ a）和左側分支（x ≤ −a）。
漸近線是雙曲線在 x → ±∞ 時趨近的直線 y = ±(b/a)x。曲線永遠不會接觸漸近線，但距離會無限趨近於零。
橢圓由到兩焦點距離之和為常數定義，雙曲線由距離之差為常數定義。橢圓的離心率滿足 0 < e < 1，雙曲線的離心率滿足 e > 1。
閒話 ― 雙曲線與導航
雙曲線和橢圓、拋物線一樣，都屬於"圓錐曲線"家族——它們是用同一個圓錐、以不同角度切割後得到的一組曲線。雙曲線的定義帶著一種"差值"的味道：軌跡上任意一點到兩個固定焦點的距離之差，始終保持不變。這個聽起來頗為抽象的性質，後來卻在 20 世紀的航海技術中意外地派上了大用場。
這便是 LORAN（遠端無線電導航）系統的原理所在。船隻接收來自兩個岸基電臺的無線電訊號，通過測量兩者到達的時間差，就能確定自己位於以這兩個電臺為焦點的某條雙曲線上；再結合第二組電臺得到的另一條雙曲線，兩條曲線的交點便是船隻的實際位置。這種利用幾何性質進行定位的思路，後來也成為衛星導航系統的重要理論基礎。
雙曲線的用武之地並不止於航海。將雙曲線繞其軸旋轉一週會得到一種曲面——雙曲面，它同樣具備優秀的光學反射性質，因此被應用在卡塞格林式望遠鏡的設計中：凸雙曲面副鏡將光線經主鏡反射後再次精確聚焦，並從主鏡中央的小孔穿出，使觀測者可以站在望遠鏡的後方而非前方進行觀測。從確定船隻在大洋中的座標，到幫助天文學家看清遙遠的星系，雙曲線這條"由差值定義"的曲線，展現出了遠超其抽象定義的實用價值。