Gráfico de hipérbole (x²/a² − y²/b² = 1)

Insira a e b para traçar a hipérbole x²/a² − y²/b² = 1. Calcula automaticamente a excentricidade, os focos, os vértices e as assíntotas.

Última atualização: 2026-08-25

O que é o gráfico de hipérbole?

O gráfico de hipérbole é uma ferramenta que permite traçar a hipérbole x²/a² − y²/b² = 1 apenas inserindo os semieixos a e b, calculando automaticamente a excentricidade, os focos, os vértices e as assíntotas. Uma hipérbole é composta por dois ramos separados: enquanto numa elipse a soma das distâncias aos dois focos permanece constante, na hipérbole ocorre o oposto, é a diferença dessas distâncias que se mantém constante.

O gráfico também desenha as assíntotas y = ±(b/a)x como linhas tracejadas cinza, para que você possa verificar visualmente a quais retas a hipérbole vai se aproximando à medida que se estende ao infinito. A excentricidade de uma hipérbole é sempre maior que 1, e quanto maior for esse valor, mais abertos ficam os dois ramos.

Como a ferramenta recalcula todos os valores assim que você altera a ou b, ela é útil tanto para consultar rapidamente um caso específico quanto para desenvolver uma intuição sobre como a forma da curva responde a cada parâmetro, algo que uma simples tabela de fórmulas estáticas não consegue mostrar sozinha.

Ao manter sempre visíveis, ao mesmo tempo, a equação, os focos e as assíntotas, esta ferramenta também facilita a comparação de diferentes combinações de a e b em um único olhar, o que é especialmente útil ao estudar pela primeira vez a relação entre a expressão algébrica e a representação geométrica das cônicas.

Como usar o gráfico de hipérbole

Insira o semieixo a A distância do centro até os vértices ao longo do eixo x. Insira um valor maior que 0.
Insira o semieixo b O valor ao longo do eixo y que determina a inclinação das assíntotas. Insira também um valor maior que 0.
Confira o gráfico A hipérbole, desenhada com seus dois ramos, aparece junto com suas assíntotas e seus focos em um único gráfico.
Verifique a excentricidade, os focos e os vértices A excentricidade e calculada automaticamente, as coordenadas dos focos e dos vértices, e as equações das assíntotas são listadas para você.

Dicas para aproveitar melhor

A hipérbole x²/a² − y²/b² = 1 é composta de dois ramos separados. O ramo direito existe onde x ≥ a e o ramo esquerdo onde x ≤ −a.
As assíntotas y = ±(b/a)x são as retas às quais a hipérbole se aproxima, mas nunca toca. Elas são mostradas como linhas tracejadas cinza no gráfico.
A excentricidade e = √(1 + b²/a²) é sempre maior que 1. Valores maiores de e produzem hipérboles mais "abertas".
Os focos estão em (±c, 0), onde c = √(a² + b²). Eles aparecem como losangos laranjas no gráfico.

Usos do gráfico de hipérbole

Compreender sistemas de navegação (LORAN)

O sistema de radionavegação LORAN localiza uma posição a partir da diferença de tempo entre os sinais emitidos por duas estações, aplicando diretamente a propriedade da hipérbole segundo a qual a diferença das distâncias permanece constante.

Compreender o espelho secundário de telescópios refletores

Os telescópios Cassegrain usam um espelho secundário hiperbólico para trazer o ponto focal para trás do instrumento. Visualizar a propriedade focal da hipérbole ajuda a entender esse design.

Estudar as cônicas comparando-as com a elipse

Uma excentricidade menor que 1 resulta em uma elipse, enquanto uma excentricidade maior que 1 resulta em uma hipérbole. Você pode comparar diretamente as duas formas alterando os valores e observando como o gráfico reage.

Praticar cônicas para o ensino médio ou a faculdade

Você pode desenvolver uma compreensão prática da forma canônica da hipérbole, de suas assíntotas e de sua relação com os focos ajustando você mesmo os parâmetros e observando os resultados.

Glossário

Excentricidade: Um valor sempre maior que 1 que descreve o quanto uma hipérbole está aberta. Quanto maior o valor, mais abruptamente os ramos se abrem para fora.
Assíntota: Uma reta da qual a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que se estende ao infinito (x → ±∞), sem nunca chegar a tocá-la.
Foco: Um dos dois pontos especiais tais que, para qualquer ponto da hipérbole, a diferença entre as distâncias a esses dois pontos permanece constante.
Vértice: O ponto onde a hipérbole cruza o eixo x (ou o eixo principal), ou seja, o ponto da curva mais próximo do foco correspondente.
LORAN: Abreviação de Long Range Navigation. Um sistema de radionavegação do século XX que usava a diferença de tempo entre os sinais de rádio de duas estações para posicionar um navio ou uma aeronave em uma hipérbole.

Perguntas frequentes

A equação x²/a² − y²/b² = 1 exige |x| ≥ a, portanto não há pontos perto de x = 0. A curva se divide em um ramo direito (x ≥ a) e um ramo esquerdo (x ≤ −a).

Assíntotas são as retas y = ±(b/a)x às quais a hipérbole se aproxima quando x → ±∞. A curva nunca as toca de fato, mas se aproxima arbitrariamente delas.

Uma elipse é definida pela soma das distâncias a dois focos sendo constante; uma hipérbole usa a diferença. Uma elipse tem excentricidade 0 < e < 1; uma hipérbole tem e > 1.

Curiosidade — Hipérboles e navegação

Uma hipérbole é definida como o conjunto de pontos cuja diferença de distâncias a dois focos fixos é constante. Essa propriedade foi utilizada pelo sistema de navegação LORAN (Long Range Navigation) no século XX: navios determinavam sua posição medindo a diferença de tempo entre sinais de rádio emitidos por duas estações costeiras.

Espelhos hiperbólicos aparecem nos telescópios Cassegrain, onde um espelho secundário hiperbólico convexo reflete a luz por um orifício no espelho primário, posicionando o ponto focal atrás do corpo do telescópio.

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