図形数（三角数・四角数・五角数・六角数）計算機
三角数・四角数（平方数）・五角数・六角数を第1項から第N項まで計算し、グラフで比較表示。第n項の値もすぐに計算できます。1〜15項の早見表付き。
三角数・四角数・五角数・六角数 第1〜15項の早見表
4種類の図形数について、第1項から第15項までの値をまとめた一覧表です。
| n | 三角数 | 四角数（平方数） | 五角数 | 六角数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
図形数とは
図形数は、点を規則的に並べて正多角形を作ったときの点の総数です。三角形に並べれば三角数（1・3・6・10…）、正方形なら四角数（1・4・9・16…）、五角形なら五角数（1・5・12・22…）になります。**四角数が平方数と一致する**のは、正方形に並べた点がちょうど n × n になるためで、図形と数式が直接つながっている分かりやすい例です。
どの図形数にも簡潔な一般項があります。三角数は n(n+1)/2、四角数は n²、五角数は n(3n−1)/2、六角数は n(2n−1) です。**隣り合う三角数を2つ足すと四角数になる**、**六角数は奇数番目の三角数と一致する**といった関係も知られており、数列どうしの意外なつながりを眺めるのが図形数の面白さです。このツールは第1項から第N項までを計算してグラフで比較でき、第n項だけを直接求めることもできます。
図形数を計算する手順
- 図形数の種類を選ぶ 三角数・四角数・五角数・六角数から選びます。
- 表示する項数を指定する 第1項から第N項までが一覧とグラフで表示されます。
- グラフで伸び方を比べる 角の数が多い図形数ほど急に伸びることが視覚的に分かります。
- 第n項を直接求める 大きな n について、その項の値だけを求めることもできます。
使いこなすためのヒント
- 三角数T(n) = n(n+1)/2は、点を正三角形状に積み上げたときの点の総数です。ボウリングのピン配置（10本）は三角数T(4)=10の例です。
- 四角数（平方数）S(n) = n²は、点を正方形状に並べたときの点の総数です。「奇数を順に足すと平方数になる」（1, 1+3=4, 1+3+5=9…）という性質でも知られています。
- 五角数P(n) = n(3n−1)/2と六角数H(n) = n(2n−1)は、それぞれ点を正五角形・正六角形状に並べたときの点の総数です。すべての六角数は必ず三角数でもあるという性質があります（H(n) = T(2n−1)）。
- グラフでは4種類の図形数の増加ペースを比較できます。同じnでも、頂点の数（3, 4, 5, 6）が多いk角数ほど値が大きくなる傾向があります。
- このツールは第1000項まで対応しています。項数が大きくなると値も急速に大きくなるため、グラフの表示項数は見やすさを考慮して1〜30に制限しています。
こんなときに使えます
数列の学習
一般項の導き方と実際の値を突き合わせて、式の意味を確かめられます。
数列どうしの関係を確かめる
隣り合う三角数の和が四角数になることなどを、実際の数字で検証できます。
プログラミングの練習問題
図形数を求める関数を書いたとき、正しい値と突き合わせられます。
パズルや競技数学の下調べ
図形数は整数論の問題でしばしば登場します。値の一覧があると当たりを付けやすくなります。
図形数の用語
- 三角数
- 点を三角形に並べたときの総数で、一般項は n(n+1)/2 です。**1からnまでの和と一致します。**
- 四角数（平方数）
- 点を正方形に並べたときの総数で、n² です。
- 五角数
- 点を正五角形に並べたときの総数で、n(3n−1)/2 です。
- 六角数
- 点を正六角形に並べたときの総数で、n(2n−1) です。**奇数番目の三角数と一致します。**
- 一般項
- 数列の第n項を n の式で表したものです。図形数はいずれも簡潔な一般項を持ちます。
- 多角数定理
- すべての自然数は高々3個の三角数、4個の四角数、5個の五角数の和で表せるという定理です。
よくある質問
余談ですが ― ピタゴラス学派が図形数に見出した「数の神秘」
図形数（多角数）の研究は、紀元前6世紀頃の古代ギリシャのピタゴラス学派にまでさかのぼります。彼らは「万物は数である」という思想のもと、点（プサモス）を幾何学的な形に並べることで数の性質を視覚的に理解しようとしました。三角数・四角数といった呼び名自体が、点を並べたときにできる図形の形に由来しています。
三角数と四角数の間には美しい関係があります。連続する2つの三角数を足すと必ず四角数になる（例: T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²）というもので、これは点の並びを実際に図示すると直感的に理解できます。このような幾何学的な証明手法は、後の数論の発展に大きな影響を与えました。
図形数は現代の数学にも研究対象として残っています。例えば「六角数はすべて三角数でもある」という性質や、複数の図形数を同時に満たす数（多角数かつ別の多角数でもある数）の探索は、整数論の演習問題として今も親しまれています。ピタゴラス学派が2500年前に紙も筆算もなく小石を並べて発見した性質の多くが、現代でも正しい定理として通用し続けているのは驚くべきことです。