Lineare Funktion Grafisch Darstellen y = ax + b (Kostenlos)

Zeichnen Sie y = ax + b kostenlos online. Geben Sie Steigung a und y-Achsenabschnitt b ein, berechnen Sie y für jedes x und lesen Sie exakte Koordinaten per Mausklick ab.

Was der Graph einer linearen Funktion ist

Eine lineare Funktion schreibt sich y = ax + b, und ihr Graph ist stets eine Gerade. Das a ist die Steigung und legt fest, um wie viel y wächst, wenn x um eins zunimmt; das b ist der Achsenabschnitt und legt die Höhe fest, in der die Gerade die y-Achse schneidet. Sind diese beiden Zahlen bestimmt, so ist es die Gerade auch – deshalb braucht ihre Zeichnung nicht mehr als Steigung und Achsenabschnitt.

Dieses Werkzeug zeichnet die Gerade allein aus diesen beiden Werten und berechnet dazu den y- und den x-Achsenabschnitt. Der x-Achsenabschnitt folgt aus y = 0, also x = −b ÷ a; ist die Steigung null, so läuft die Gerade parallel zur x-Achse, und es erscheint stattdessen „keiner“. Geben Sie ein beliebiges x ein, so wird auch das zugehörige y berechnet, und wer mit dem Zeiger über den Graphen fährt, sieht die Koordinaten jener Stelle in einer Sprechblase. Der dargestellte Bereich von x lässt sich ändern, sodass Sie nahe dem Ursprung vergrößern oder eine vom Achsenabschnitt weit entfernte Gegend betrachten können.

So benutzen Sie den Graphen der linearen Funktion

Steigung und Achsenabschnitt eingeben Tragen Sie a und b ein, und die Gerade wird sogleich gezeichnet. Ein negatives a ergibt eine von links nach rechts fallende Gerade.
Den Bereich von x festlegen Geben Sie xMin und xMax an, um nur den gewünschten Abschnitt zu zeigen. Liegt xMin nicht unter xMax, so gibt es keinen Bereich, und ein Hinweis sagt es.
Das y zu einem bestimmten x finden Tragen Sie eine Zahl in das Feld für x ein, so wird das zugehörige y berechnet – genauer, als es sich vom Graphen ablesen ließe.
Die Achsenabschnitte prüfen y- und x-Achsenabschnitt erscheinen von selbst. Bei einer waagerechten Geraden, deren Steigung null ist, gibt es keinen Schnitt mit der x-Achse, sodass dort „keiner“ steht.
Koordinaten vom Graphen ablesen Fahren Sie über die Linie, so erscheint das (x, y) des Punktes in einer Sprechblase – nützlich, wenn Sie rasch einen ungefähren Wert brauchen.

Tipps für die Nutzung

Die Steigung a gibt an, wie stark sich y ändert, wenn x um 1 zunimmt. Ist a > 0, verläuft die Gerade nach rechts oben; ist a < 0, nach rechts unten.
Der y-Achsenabschnitt b ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet. Er entspricht dem Wert von y, wenn x = 0.
Der x-Achsenabschnitt (Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse) ergibt sich durch Lösen von y = 0: x = −b ÷ a. Ist a = 0, gibt es keinen Schnittpunkt (horizontale Gerade); ist zusätzlich b = 0, dann liegt y = 0 (auf der x-Achse) vor.
Fahre mit der Maus über den Graphen, um die (x, y)-Koordinaten dieses Punktes als Tooltip anzuzeigen. Um y für ein bestimmtes x zu berechnen, gib den x-Wert in das Eingabefeld auf der linken Seite ein.

Wofür sich der Graph eignet

Schulmathematik lernen

Zeichnen Sie die Gerade neu und verändern Sie dabei Steigung oder Achsenabschnitt Schritt für Schritt, so sehen Sie mit eigenen Augen, wie sich eine Änderung der Zahlen in Richtung und Lage der Geraden niederschlägt. Auch zum Gegenrechnen von Buchaufgaben taugt es.

Die eigenen Hausaufgaben prüfen

Bestätigen Sie, ob die selbst ermittelten Achsenabschnitte oder das y zu einem bestimmten x auf dasselbe hinauslaufen.

Gleichmäßiges Wachstum vorausschätzen

Ein Tarif aus „b als Grundgebühr zuzüglich a je Einheit“ oder eine bei gleichbleibender Geschwindigkeit zurückgelegte Strecke ist eine lineare Funktion: Alles, was verhältnisgleich wächst, lässt sich so schreiben.

Das Verhältnis zweier Geraden untersuchen

Bleibt die Steigung gleich und ändert sich nur der Achsenabschnitt, so laufen die Geraden parallel; kehrt sich das Vorzeichen der Steigung um, so ändert sich die Art ihres Treffens. Das hilft zu erkennen, dass die Lösung eines Gleichungssystems der Schnittpunkt ist.

Mit einer Kurve vergleichen

Um sie einer Kurve gegenüberzustellen, nehmen Sie den Graphen der quadratischen Funktion; für einen Grad höher den Graphen der kubischen Funktion.

Begriffe rund um die lineare Funktion

Lineare Funktion: Eine Funktion der Gestalt y = ax + b mit a ungleich null. Ihren Namen trägt sie, weil x in der ersten Potenz auftritt; ihr Graph ist stets eine Gerade.
Steigung: Das a der Formel: der Zuwachs von y, wenn x um eins wächst. Positiv steigt die Gerade nach rechts, negativ fällt sie, null verläuft sie waagerecht. Je größer der Betrag, desto steiler die Linie.
y-Achsenabschnitt: Die y-Koordinate des Punktes, in dem der Graph die y-Achse trifft; das ist das b der Formel. Es entspricht dem Wert von y, wenn man x null setzt.
x-Achsenabschnitt: Die x-Koordinate des Punktes, in dem der Graph die x-Achse trifft. Aus y = 0 folgt x = −b ÷ a. Ist die Steigung null, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, und ein solcher Punkt besteht nicht.
Direkte Proportionalität: Eine Funktion der Gestalt y = ax, also eine lineare Funktion mit dem Achsenabschnitt null. Ihr Graph geht stets durch den Ursprung, und eine lineare Funktion lässt sich als dieser Graph ansehen, um b entlang der y-Achse verschoben.
Änderungsrate: Das Verhältnis des Zuwachses von y zum Zuwachs von x. Bei einer linearen Funktion ist es überall dasselbe, und dieser Wert ist genau die Steigung a.

Häufige Fragen

Eine proportionale Funktion (y = ax) ist ein Spezialfall der linearen Funktion (y = ax + b), bei dem der y-Achsenabschnitt b = 0 ist. Der Graph einer proportionalen Funktion geht immer durch den Ursprung (0, 0), während eine lineare Funktion um b Einheiten in y-Richtung verschoben ist.

y = 0 einsetzen und lösen: 0 = ax + b ergibt x = −b ÷ a (wenn a ≠ 0). Dieses Tool berechnet und zeigt den x-Achsenschnittpunkt automatisch an. Wenn a = 0 (horizontale Gerade), verläuft die Gerade parallel zur x-Achse und es gibt keinen Schnittpunkt — das Tool zeigt „Keiner".

Der Graph wird zu einer horizontalen Geraden y = b. Der Wert von y ist unabhängig von x stets b. Wenn auch b = 0 ist, fällt der Graph mit der x-Achse zusammen. Da die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, gibt es keinen x-Achsenschnittpunkt.

Ja. Einfach Steigung a und y-Achsenabschnitt b eingeben, um den Graphen sofort zu sehen. Ideal für den Mathematikunterricht in der Mittel- und Oberschule. Sie können auch y für beliebige x-Werte berechnen und Achsenschnittpunkte überprüfen. Beim Bewegen des Mauszeigers über den Graphen werden die Koordinaten angezeigt.

Übrigens – Warum eine lineare Funktion „linear" heißt

Die Funktion y = ax + b wird als „lineare Funktion" bezeichnet, weil ihr Graph stets eine Gerade ist. Das Wort „linear" stammt vom lateinischen „linearis" (zur Linie gehörig). Streng genommen unterscheiden Mathematiker manchmal zwischen „linear" (b = 0, durch den Ursprung) und „affin" (b ≠ 0), im alltäglichen Gebrauch und in den meisten Lehrplänen werden jedoch beide als lineare Funktionen bezeichnet.

Lineare Funktionen dienen in Physik, Wirtschaft, Statistik und vielen anderen Bereichen als grundlegende Modelle. Zum Beispiel ist „fährst du mit 60 km/h, beträgt die zurückgelegte Strecke y nach t Stunden y = 60t" eine lineare Funktion mit Steigung 60 und y-Achsenabschnitt 0. Auch die lineare Regression (Methode der kleinsten Quadrate) ist ein Verfahren, um die am besten passende lineare Funktion y = ax + b für einen Datensatz zu finden.

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