Ellipsengraph (x²/a² + y²/b² = 1)

Gib die Halbachsen a und b ein, um die Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 zu zeichnen. Berechnet automatisch Fläche, Umfang, Exzentrizität und Brennpunkte. Bei a = b wird die Ellipse zum Kreis.

Was ist ein Ellipsengraph?

Mit diesem Ellipsengraph-Tool zeichnen Sie die Kurve x²/a² + y²/b² = 1, indem Sie einfach die Halbachse a entlang der x-Richtung und die Halbachse b entlang der y-Richtung eingeben. Fläche, Umfang (näherungsweise), Exzentrizität und die Koordinaten der Brennpunkte werden automatisch berechnet. Bei a = b wird die Ellipse zu einem perfekten Kreis, sodass Sie direkt am Graphen sehen, dass ein Kreis nur ein Sonderfall einer Ellipse ist.

Anders als die Fläche lässt sich der Umfang einer Ellipse nicht als geschlossene Formel mit elementaren Funktionen ausdrücken – er lässt sich nur über ein spezielles Integral, das elliptische Integral, beschreiben. Dieses Tool verwendet die Näherungsformel von Ramanujan, um einen für die Praxis ausreichend genauen Umfang zu berechnen. Unter den Kegelschnitten (Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel) findet die Ellipse besonders vielseitige Anwendung in der Praxis, von Planetenbahnen bis zur Architekturakustik.

So verwenden Sie den Ellipsengraph

Halbachse a entlang x eingeben Geben Sie den entlang der x-Richtung gemessenen Radius ein, unabhängig davon, ob er die große oder kleine Halbachse ist. Der Wert muss größer als 0 sein.
Halbachse b entlang y eingeben Geben Sie den entlang der y-Richtung gemessenen Radius ein. Setzen Sie ihn gleich a, um einen perfekten Kreis zu zeichnen.
Graph prüfen Die Ellipse wird anhand der eingegebenen Werte für a und b gezeichnet, und die Brennpunkte werden mit rautenförmigen Markierungen angezeigt.
Fläche, Umfang und Exzentrizität ablesen Die automatisch berechnete Fläche, der näherungsweise Umfang, die Exzentrizität e sowie die Koordinaten der Brennpunkte werden übersichtlich aufgelistet.

Tipps für die Nutzung

a ist die Halbachse entlang der x-Achse, b die Halbachse entlang der y-Achse. Bei a = b wird die Ellipse zum Kreis.
Die Exzentrizität e gibt an, wie gestreckt die Ellipse ist. e = 0 entspricht einem Kreis; Werte nahe 1 erzeugen eine sehr lang gestreckte Ellipse.
Die Fläche lässt sich exakt als πab berechnen. Der Umfang hat keine geschlossene Formel in elementaren Funktionen; dieses Tool verwendet die Ramanujan-Näherung: π(3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))).
Das Ändern des Anzeigebereichs ändert nicht die Form der Ellipse. Die Brennpunkte (orange Rauten) werden auf der großen Achse angezeigt.

Einsatzmöglichkeiten des Ellipsengraphen

Planeten- und Satellitenbahnen verstehen

Nach den Kepler'schen Gesetzen bewegen sich Planeten auf elliptischen Bahnen. Durch Änderung der Exzentrizität sehen Sie anschaulich, wie sich die Form einer Umlaufbahn verändert.

Fläche und Umfang einer Ellipse berechnen

Beim Entwerfen oder Fertigen eines elliptischen Bauteils können Sie Fläche und Randlänge direkt aus den Halbachsen berechnen.

Die Klassifikation von Formen über die Exzentrizität lernen

Sie können sowohl rechnerisch als auch grafisch nachvollziehen, dass eine Exzentrizität von 0 einem perfekten Kreis entspricht und Werte nahe 1 eine zunehmend gestreckte Ellipse ergeben.

Kegelschnitte für Schule oder Studium üben

Sie können die Normalform einer Ellipse sowie den Zusammenhang zwischen Brennpunkten und Exzentrizität selbst erarbeiten, indem Sie die Werte eigenhändig verändern.

Begriffe zur Ellipse

Exzentrizität: Ein Wert zwischen 0 und 1, der angibt, wie stark eine Ellipse abgeflacht ist. Bei 0 liegt ein perfekter Kreis vor, bei Werten nahe 1 eine stark gestreckte Ellipse.
Brennpunkt(e): Zwei besondere Punkte auf der großen Achse, für die gilt: Die Summe der Abstände jedes Ellipsenpunkts zu den beiden Brennpunkten ist konstant.
Große / kleine Halbachse: Der Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zum am weitesten entfernten Punkt ist die große Halbachse, der Abstand zum nächstgelegenen Punkt die kleine Halbachse. Ob a oder b die große Halbachse ist, hängt davon ab, welcher Wert größer ist.
Elliptisches Integral: Das Integral, das bei der exakten Berechnung des Ellipsenumfangs auftritt. Es lässt sich nicht als geschlossene elementare Funktion schreiben, weshalb dieses Tool stattdessen die Näherung von Ramanujan verwendet.
Kreis: Eine besondere Ellipse, bei der große und kleine Halbachse gleich groß sind (a = b). Ihre Exzentrizität beträgt 0.

Häufige Fragen

Wenn a = b, wird die Ellipse zum perfekten Kreis. Die Exzentrizität ist 0 und die beiden Brennpunkte fallen im Mittelpunkt zusammen.

Der exakte Umfang einer Ellipse erfordert ein elliptisches Integral ohne geschlossene Form in elementaren Funktionen (außer bei a = b). Dieses Tool verwendet die Ramanujan-Näherung, die in der Regel auf unter 1 % genau ist.

Wenn a ≥ b liegt die große Achse horizontal und die Brennpunkte befinden sich bei (±c, 0) mit c = √(a²−b²). Wenn b > a liegt die große Achse vertikal und die Brennpunkte bei (0, ±c) mit c = √(b²−a²). Sie erscheinen als orange Rauten im Graphen.

Übrigens – Ellipsen und Planetenbahnen

Das Wort „Ellipse" stammt aus dem altgriechischen „ἔλλειψις" (elleipsis), was „Mangel" oder „Fehlen" bedeutet — wenn ein Kegel schräg geschnitten wird, hat der Querschnitt gegenüber einem vollständigen Kreis ein „Defizit".

Keplers erstes Gesetz (1609) besagt, dass jeder Planet die Sonne in einer Ellipse umkreist, wobei die Sonne in einem Brennpunkt liegt. Die Umlaufbahnexzentrizität der Erde beträgt etwa 0,0167 (fast kreisförmig), die des Pluto hingegen etwa 0,249.

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