도형수（삼각수・사각수・오각수・육각수）계산기
삼각수・사각수（제곱수）・오각수・육각수를 제1항부터 제N항까지 계산하여 그래프로 비교 표시합니다. 제n항의 값도 바로 계산할 수 있습니다. 1〜15항 조견표 포함.
삼각수・사각수・오각수・육각수 제1〜15항 조견표
4종류의 도형수에 대해 제1항부터 제15항까지의 값을 정리한 표입니다.
| n | 삼각수 | 사각수（제곱수） | 오각수 | 육각수 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
도형수란
도형수는 점을 규칙적으로 늘어놓아 정다각형을 만들었을 때의 점의 총수입니다. 삼각형으로 늘어놓으면 삼각수(1·3·6·10…), 정사각형이면 사각수(1·4·9·16…), 오각형이면 오각수(1·5·12·22…)가 됩니다. **사각수가 제곱수와 일치하는** 것은 정사각형으로 늘어놓은 점이 꼭 n × n이 되기 때문으로, 도형과 수식이 곧바로 이어지는 알기 쉬운 예입니다.
어느 도형수에도 간결한 일반항이 있습니다. 삼각수는 n(n+1)/2, 사각수는 n², 오각수는 n(3n−1)/2, 육각수는 n(2n−1)입니다. **이웃한 삼각수 둘을 더하면 사각수가 된다**거나 **육각수는 홀수 번째 삼각수와 일치한다**는 관계도 알려져 있어, 수열끼리의 뜻밖의 이어짐을 바라보는 것이 도형수의 재미입니다. 이 도구는 제1항부터 제N항까지를 계산해 그래프로 비교할 수 있고, 제n항만을 직접 구할 수도 있습니다.
도형수를 계산하는 순서
- 도형수의 종류를 고릅니다 삼각수·사각수·오각수·육각수에서 고릅니다.
- 표시할 항수를 지정합니다 제1항부터 제N항까지가 목록과 그래프로 표시됩니다.
- 그래프로 뻗는 모양을 비교합니다 각의 수가 많은 도형수일수록 가파르게 뻗는 것이 눈으로 보입니다.
- 제n항을 직접 구합니다 큰 n에 대해 그 항의 값만을 구할 수도 있습니다.
더 잘 활용하기 위한 팁
- 삼각수 T(n) = n(n+1)/2는 점을 정삼각형 모양으로 쌓았을 때의 점의 총수입니다. 볼링 핀 배치（10개）는 삼각수 T(4)=10의 예입니다.
- 사각수（제곱수） S(n) = n²는 점을 정사각형 모양으로 배열했을 때의 점의 총수입니다. 「홀수를 차례로 더하면 제곱수가 된다」（1, 1+3=4, 1+3+5=9…）는 성질로도 알려져 있습니다.
- 오각수 P(n) = n(3n−1)/2와 육각수 H(n) = n(2n−1)은 각각 점을 정오각형・정육각형 모양으로 배열했을 때의 점의 총수입니다. 모든 육각수는 반드시 삼각수이기도 합니다（H(n) = T(2n−1)）.
- 그래프에서는 4종류 도형수의 증가 속도를 비교할 수 있습니다. 같은 n이라도 꼭짓점 수（3, 4, 5, 6）가 많은 k각수일수록 값이 커지는 경향이 있습니다.
- 이 도구는 제1000항까지 지원합니다. 항수가 커지면 값도 급격히 커지므로, 그래프의 표시 항수는 가독성을 위해 1〜30으로 제한하고 있습니다.
이럴 때 쓸 수 있습니다
수열 학습
일반항을 이끌어 내는 방법과 실제 값을 맞춰 보며 식의 의미를 확인할 수 있습니다.
수열끼리의 관계를 확인할 때
이웃한 삼각수의 합이 사각수가 되는 것 등을 실제 숫자로 검증할 수 있습니다.
프로그래밍 연습 문제
도형수를 구하는 함수를 썼을 때 올바른 값과 맞춰 볼 수 있습니다.
퍼즐이나 경시수학의 사전 조사
도형수는 정수론 문제에 자주 등장합니다. 값의 목록이 있으면 짐작을 잡기 쉬워집니다.
도형수 용어
- 삼각수
- 점을 삼각형으로 늘어놓았을 때의 총수로, 일반항은 n(n+1)/2입니다. **1부터 n까지의 합과 일치합니다.**
- 사각수(제곱수)
- 점을 정사각형으로 늘어놓았을 때의 총수로, n²입니다.
- 오각수
- 점을 정오각형으로 늘어놓았을 때의 총수로, n(3n−1)/2입니다.
- 육각수
- 점을 정육각형으로 늘어놓았을 때의 총수로, n(2n−1)입니다. **홀수 번째 삼각수와 일치합니다.**
- 일반항
- 수열의 제n항을 n의 식으로 나타낸 것입니다. 도형수는 모두 간결한 일반항을 가집니다.
- 다각수 정리
- 모든 자연수는 많아야 3개의 삼각수, 4개의 사각수, 5개의 오각수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리입니다.
자주 묻는 질문
여담 ― 피타고라스 학파가 도형수에서 발견한 「수의 신비」
도형수（다각수）연구는 기원전 6세기경 고대 그리스의 피타고라스 학파까지 거슬러 올라갑니다. 그들은 「만물은 수이다」라는 사상 아래, 점（조약돌）을 기하학적 모양으로 배열하여 수의 성질을 시각적으로 이해하려 했습니다. 삼각수・사각수라는 명칭 자체가 점을 배열했을 때 만들어지는 도형의 모양에서 유래합니다.
삼각수와 사각수 사이에는 아름다운 관계가 있습니다. 연속된 두 삼각수를 더하면 반드시 사각수가 됩니다（예: T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²）. 이는 점의 배열을 실제로 그려보면 직관적으로 이해할 수 있습니다. 이러한 기하학적 증명 방법은 이후 정수론의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다.
도형수는 현대 수학에서도 연구 대상으로 남아 있습니다. 예를 들어 「모든 육각수는 삼각수이기도 하다」는 성질이나, 여러 도형수 정의를 동시에 만족하는 수를 찾는 것은 정수론의 연습 문제로 지금도 친숙하게 다루어집니다. 피타고라스 학파가 2500년 전 종이도 필산도 없이 조약돌을 늘어놓아 발견한 많은 성질이 오늘날에도 올바른 정리로 통용되고 있다는 것은 놀라운 일입니다.