도형수（삼각수・사각수・오각수・육각수）계산기
삼각수・사각수（제곱수）・오각수・육각수를 제1항부터 제N항까지 계산하여 그래프로 비교 표시합니다. 제n항의 값도 바로 계산할 수 있습니다. 1〜15항 조견표 포함.
삼각수・사각수・오각수・육각수 제1〜15항 조견표
4종류의 도형수에 대해 제1항부터 제15항까지의 값을 정리한 표입니다.
| n | 삼각수 | 사각수（제곱수） | 오각수 | 육각수 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
Tips
- 삼각수 T(n) = n(n+1)/2는 점을 정삼각형 모양으로 쌓았을 때의 점의 총수입니다. 볼링 핀 배치（10개）는 삼각수 T(4)=10의 예입니다.
- 사각수（제곱수） S(n) = n²는 점을 정사각형 모양으로 배열했을 때의 점의 총수입니다. 「홀수를 차례로 더하면 제곱수가 된다」（1, 1+3=4, 1+3+5=9…）는 성질로도 알려져 있습니다.
- 오각수 P(n) = n(3n−1)/2와 육각수 H(n) = n(2n−1)은 각각 점을 정오각형・정육각형 모양으로 배열했을 때의 점의 총수입니다. 모든 육각수는 반드시 삼각수이기도 합니다（H(n) = T(2n−1)）.
- 그래프에서는 4종류 도형수의 증가 속도를 비교할 수 있습니다. 같은 n이라도 꼭짓점 수（3, 4, 5, 6）가 많은 k각수일수록 값이 커지는 경향이 있습니다.
- 이 도구는 제1000항까지 지원합니다. 항수가 커지면 값도 급격히 커지므로, 그래프의 표시 항수는 가독성을 위해 1〜30으로 제한하고 있습니다.
자주 묻는 질문
연속된 두 삼각수를 더하면 반드시 사각수（제곱수）가 됩니다. 예를 들어 T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²입니다. 이는 삼각형 모양으로 배열한 점의 그림과 다음 삼각수의 그림을 합치면 정사각형이 되는 것으로도 기하학적으로 확인할 수 있습니다.
모든 육각수는 삼각수이기도 합니다. 구체적으로 H(n) = T(2n−1)이라는 관계가 성립합니다. 예를 들어 H(3) = 15는 T(5) = 15와 일치합니다.
오각수는 축구공 무늬（정오각형 패널）나, 오각수 정리로 알려진 오일러의 분할수 연구 등 기하학과 정수론 양쪽에 등장합니다. 일상에서의 시각적인 예는 삼각수・사각수만큼 많지 않지만, 정수론적으로는 중요한 역할을 합니다.
계산 자체는 제1000항까지 지원하지만, 그래프의 가독성을 위해 표시・그래프의 항수는 1〜30 범위로 제한하고 있습니다. 특정 제n항의 값만 알고 싶다면, n（항 번호）란에 직접 큰 수치를 입력하여 계산할 수 있습니다.
여담 ― 피타고라스 학파가 도형수에서 발견한 「수의 신비」
도형수（다각수）연구는 기원전 6세기경 고대 그리스의 피타고라스 학파까지 거슬러 올라갑니다. 그들은 「만물은 수이다」라는 사상 아래, 점（조약돌）을 기하학적 모양으로 배열하여 수의 성질을 시각적으로 이해하려 했습니다. 삼각수・사각수라는 명칭 자체가 점을 배열했을 때 만들어지는 도형의 모양에서 유래합니다.
삼각수와 사각수 사이에는 아름다운 관계가 있습니다. 연속된 두 삼각수를 더하면 반드시 사각수가 됩니다（예: T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²）. 이는 점의 배열을 실제로 그려보면 직관적으로 이해할 수 있습니다. 이러한 기하학적 증명 방법은 이후 정수론의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다.
도형수는 현대 수학에서도 연구 대상으로 남아 있습니다. 예를 들어 「모든 육각수는 삼각수이기도 하다」는 성질이나, 여러 도형수 정의를 동시에 만족하는 수를 찾는 것은 정수론의 연습 문제로 지금도 친숙하게 다루어집니다. 피타고라스 학파가 2500년 전 종이도 필산도 없이 조약돌을 늘어놓아 발견한 많은 성질이 오늘날에도 올바른 정리로 통용되고 있다는 것은 놀라운 일입니다.