图形数（三角数・四角数・五角数・六角数）计算器
计算三角数・四角数（平方数）・五角数・六角数从第1项到第N项的值，并用图表进行对比。也可立即计算任意第n项的值。附带第1〜15项速查表。
三角数・四角数・五角数・六角数 第1〜15项速查表
汇总了4种图形数从第1项到第15项数值的一览表。
| n | 三角数 | 四角数（平方数） | 五角数 | 六角数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
形数是什么
形数是把点按规则排成正多边形时点的总数。排成三角形便是三角形数（1、3、6、10……），排成正方形便是正方形数（1、4、9、16……），排成五边形便是五边形数（1、5、12、22……）。**正方形数与平方数一致**，是因为排成正方形的点恰好是 n × n——这是几何与代数直接相连的浅显例子。
每一类形数都有简洁的通项。三角形数为 n(n+1)/2，正方形数为 n²，五边形数为 n(3n−1)/2，六边形数为 n(2n−1)。人们还知道**相邻两个三角形数相加即得正方形数**、**六边形数与奇数项的三角形数一致**等关系，欣赏数列之间意想不到的联系，正是形数的趣味所在。本工具可计算自第1项至第N项并以图形比较，也能直接求出第n项。
计算形数的步骤
- 选择形数的种类 在三角形数、正方形数、五边形数、六边形数中选择。
- 指定显示的项数 自第1项至第N项会以一览与图形显示。
- 用图形比较增长 可直观看出角数越多的形数增长越陡。
- 直接求第n项 对于较大的 n，也可只求出该项的值。
用好本工具的小技巧
- 三角数T(n) = n(n+1)/2 表示将点堆叠成正三角形时的点数总和。保龄球瓶的摆放方式（10支）就是三角数T(4)=10的例子。
- 四角数（平方数）S(n) = n² 表示将点排列成正方形时的点数总和。「依次相加奇数即得平方数」（1, 1+3=4, 1+3+5=9……）这一性质也广为人知。
- 五角数P(n) = n(3n−1)/2 与六角数H(n) = n(2n−1) 分别表示将点排列成正五边形、正六边形时的点数总和。所有六角数必定也是三角数（H(n) = T(2n−1)）。
- 图表可以比较4种图形数的增长速度。相同的n下，顶点数（3、4、5、6）越多的k边形数往往数值越大。
- 本工具最高支持到第1000项。由于项数越大数值增长越快，图表和表格的显示项数为了便于查看限制在1〜30之间。
这些场景会用到
学习数列
把通项的推导与实际数值相互印证，确认算式的含义。
验证数列之间的关系
可用实际数字检验相邻三角形数之和是否为正方形数等命题。
编程练习题
写好求形数的函数后，可与正确值相互比对。
为解谜与竞赛数学做功课
形数常出现在数论题目中，备有数值一览便更易看出端倪。
形数的术语
- 三角形数
- 点排成三角形时的总数，通项为 n(n+1)/2。**与1到n的和一致。**
- 正方形数（平方数）
- 点排成正方形时的总数，为 n²。
- 五边形数
- 点排成正五边形时的总数，为 n(3n−1)/2。
- 六边形数
- 点排成正六边形时的总数，为 n(2n−1)。**与奇数项的三角形数一致。**
- 通项
- 以 n 的算式表示数列第n项者。各类形数皆有简洁的通项。
- 多边形数定理
- 任何自然数至多可表为3个三角形数、4个正方形数或5个五边形数之和的定理。
常见问题
闲话 ― 毕达哥拉斯学派在图形数中发现的「数字奥秘」
图形数（多边形数）的研究可以追溯到公元前6世纪左右古希腊的毕达哥拉斯学派。他们秉持「万物皆数」的理念，通过将点排列成几何形状来直观理解数字的性质。「三角数」「四角数」等名称本身就来自点排列后形成的图形形状。
三角数与四角数之间存在一种美妙的关系：将两个连续的三角数相加必定得到四角数（例：T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²）。实际画出点的排列图后可以直观地理解这一点。这种几何证明方法对后来数论的发展产生了深远影响。
图形数至今仍是现代数学的研究对象。例如「所有六角数同时也是三角数」这一性质，以及探索同时满足多种图形数定义的数，如今仍是数论中常见的练习题。毕达哥拉斯学派在2500年前没有纸笔、仅凭排列小石子发现的许多性质，至今仍作为正确的定理成立，这实在令人惊叹。