Grafico dell'ellisse (x²/a² + y²/b² = 1)

Inserite il semiasse maggiore a e il semiasse minore b per tracciare l'ellisse. Area, perimetro, eccentricità e coordinate dei fuochi vengono calcolati automaticamente. Con a = b si ottiene una circonferenza.

Che cos'è il grafico dell'ellisse?

Questo strumento permette di tracciare la curva x²/a² + y²/b² = 1 semplicemente inserendo il semiasse a lungo la direzione x e il semiasse b lungo la direzione y. Vengono calcolati automaticamente l'area, il perimetro (approssimato), l'eccentricità e le coordinate dei fuochi. Quando a = b l'ellisse diventa una circonferenza perfetta, così potete verificare direttamente sul grafico che una circonferenza è semplicemente un caso particolare di ellisse.

A differenza dell'area, il perimetro di un'ellisse non ha un'espressione chiusa in funzioni elementari: può essere scritto solo tramite un integrale speciale chiamato integrale ellittico. Questo strumento utilizza la formula di approssimazione di Ramanujan per calcolare un perimetro sufficientemente preciso per gli usi pratici. Tra le sezioni coniche (circonferenza, ellisse, parabola e iperbole), l'ellisse trova applicazioni particolarmente diffuse nel mondo reale, dalle orbite planetarie all'acustica architettonica.

Come usare il grafico dell'ellisse

Inserite il semiasse a lungo x Inserite il raggio misurato lungo la direzione x, sia esso il semiasse maggiore o quello minore. Deve essere maggiore di 0.
Inserite il semiasse b lungo y Inserite il raggio misurato lungo la direzione y. Impostatelo uguale ad a per disegnare una circonferenza perfetta.
Osservate il grafico L'ellisse viene disegnata in base ai valori di a e b inseriti, e i fuochi vengono indicati con marcatori a forma di rombo.
Consultate area, perimetro ed eccentricità L'area calcolata automaticamente, il perimetro approssimato, l'eccentricità e e le coordinate dei fuochi vengono elencati in modo chiaro.

Consigli per sfruttarlo al meglio

Il semiasse a è il raggio lungo l'asse x, il semiasse b quello lungo l'asse y. Quando a = b l'ellisse diventa una circonferenza.
L'eccentricità e misura quanto l'ellisse è schiacciata: e = 0 corrisponde alla circonferenza, e più il valore si avvicina a 1 più l'ellisse risulta allungata.
L'area vale esattamente πab, mentre il perimetro non è esprimibile con funzioni elementari: qui usiamo l'approssimazione di Ramanujan π(3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))).
Cambiare l'intervallo visualizzato non modifica la forma dell'ellisse. I fuochi (i rombi arancioni) compaiono sull'asse maggiore.

Usi del grafico dell'ellisse

Comprendere le orbite di pianeti e satelliti

Secondo le leggi di Keplero, i pianeti percorrono orbite ellittiche. Potete modificare l'eccentricità e osservare in modo intuitivo come cambia la forma di un'orbita.

Calcolare area e perimetro di un'ellisse

Quando progettate o realizzate un componente ellittico, potete calcolare direttamente area e lunghezza del bordo a partire dai semiassi.

Imparare come l'eccentricità classifica le forme

Potete verificare, sia numericamente sia visivamente, che un'eccentricità pari a 0 dà una circonferenza perfetta e che valori vicini a 1 danno un'ellisse sempre più allungata.

Esercitarvi con le coniche delle scuole superiori o dell'università

Potete studiare in modo pratico la forma standard di un'ellisse e la relazione tra fuochi ed eccentricità, modificando voi stessi i valori.

Glossario

Eccentricità: Un valore compreso tra 0 e 1 che descrive quanto è schiacciata un'ellisse. Il valore 0 corrisponde a una circonferenza perfetta, mentre valori vicini a 1 danno un'ellisse più allungata.
Fuoco (fuochi): Due punti particolari situati sull'asse maggiore tali che, per ogni punto dell'ellisse, la somma delle distanze dai due fuochi è costante.
Semiasse maggiore / minore: La distanza tra il centro dell'ellisse e il punto più lontano è il semiasse maggiore, mentre quella dal punto più vicino è il semiasse minore. Quale tra a e b sia il semiasse maggiore dipende da quale dei due valori sia più grande.
Integrale ellittico: L'integrale che compare nel calcolo esatto del perimetro di un'ellisse. Non può essere scritto come funzione elementare chiusa, perciò questo strumento utilizza al suo posto l'approssimazione di Ramanujan.
Circonferenza: Un'ellisse particolare in cui semiasse maggiore e minore coincidono (a = b). La sua eccentricità è pari a 0.

Domande frequenti

Con a = b l'ellisse diventa una circonferenza: l'eccentricità è 0 e i fuochi coincidono con il centro.

Il perimetro di un'ellisse si esprime tramite un integrale ellittico e, tranne nel caso a = b (la circonferenza), non esiste una formula chiusa con funzioni elementari. Questo strumento usa l'approssimazione di Ramanujan, ampiamente sufficiente per gli usi pratici.

Con a ≥ b l'asse maggiore è quello delle x e i fuochi si trovano in (±c, 0), con c = √(a²−b²). Con b > a l'asse maggiore è quello delle y e i fuochi sono in (0, ±c), con c = √(b²−a²). Nel grafico sono indicati dai rombi arancioni.

A proposito — l'origine della parola «ellisse» e le orbite dei pianeti

La parola «ellisse» deriva dal greco antico «ἔλλειψις» (elleipsis, mancanza, difetto). Secondo una delle spiegazioni tradizionali, il nome nasce dal fatto che, tagliando un cono in obliquo, la sezione risulta «mancante» rispetto al cerchio perfetto.

L'applicazione più celebre in astronomia è la prima legge di Keplero: tutti i pianeti percorrono orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi (1609). L'orbita terrestre ha un'eccentricità di circa 0,0167, quindi è quasi circolare, mentre Plutone descrive un'ellisse ben più marcata, con eccentricità di circa 0,249.

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