橢圓圖形（x²/a² + y²/b² = 1）
輸入半軸 a 和 b，繪製橢圓 x²/a² + y²/b² = 1。自動計算面積、周長、離心率和焦點座標。當 a = b 時，橢圓變為圓。
什麼是橢圓圖形？
這個橢圓圖形工具只需輸入 x 軸方向的半軸 a 和 y 軸方向的半軸 b，就能繪製出 x²/a² + y²/b² = 1 的曲線，並自動計算面積、周長（近似值）、離心率和焦點座標。當 a = b 時，橢圓會變成正圓，您可以在圖形上直接確認，圓其實是橢圓的一種特殊情況。
與面積不同，橢圓的周長沒有初等函式的封閉表達式，只能用一種稱為橢圓積分的特殊積分來表示。本工具使用拉馬努金近似公式，計算出實用精度足夠高的周長。在圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）中，橢圓在現實世界中的應用尤其廣泛，從行星軌道到建築聲學設計都能見到它的身影。
橢圓圖形的使用方法
- 輸入 x 軸方向的半軸 a 輸入沿 x 軸方向測量的半徑值，無論它是長半軸還是短半軸，都必須大於 0。
- 輸入 y 軸方向的半軸 b 輸入沿 y 軸方向測量的半徑值。將其設為與 a 相同即可畫出正圓。
- 查看圖形 系統會根據輸入的 a、b 值繪製橢圓，並用菱形標記顯示焦點位置。
- 查看面積、周長與離心率 自動計算出的面積、近似周長、離心率 e 以及焦點座標都會清楚列出。
用好本工具的小技巧
- a 是 x 軸方向的半軸，b 是 y 軸方向的半軸。當 a = b 時，橢圓變為正圓。
- 離心率 e 表示橢圓的扁平程度。e = 0 為正圓，e 越接近 1 橢圓越細長。
- 面積可以精確計算為 πab，但周長沒有初等函式的封閉形式，本工具使用拉馬努金近似公式：π(3(a+b) − √((3a+b)(a+3b)))。
- 更改顯示範圍不會改變橢圓的形狀。焦點（橙色菱形）顯示在長軸上。
橢圓圖形的應用場景
理解行星與人造衛星的軌道
根據克卜勒定律，行星沿橢圓軌道運行。改變離心率即可直觀地看到軌道形狀如何變化。
計算橢圓的面積和周長
在設計或製作橢圓形零件時，可以直接根據半軸數值計算出面積和邊緣長度。
學習離心率如何劃分圖形類別
可以透過數值和圖形兩方面確認：離心率為 0 時是正圓，越接近 1 橢圓就越細長。
練習中學、大學階段的圓錐曲線知識
透過親自改變數值，動手學習橢圓的標準方程式以及焦點與離心率之間的關係。
術語表
- 離心率
- 一個介於 0 到 1 之間的數值，用來描述橢圓的扁平程度。數值為 0 時是正圓，越接近 1 橢圓就越細長。
- 焦點
- 位於長軸上的兩個特殊點，橢圓上任意一點到這兩個焦點的距離之和保持不變。
- 長半軸、短半軸
- 橢圓中心到最遠點的距離稱為長半軸，到最近點的距離稱為短半軸。a 和 b 哪一個是長半軸，取決於兩者數值的大小。
- 橢圓積分
- 在精確計算橢圓周長時出現的積分，無法用初等函式寫成封閉形式。本工具因此改用拉馬努金近似公式來計算。
- 正圓
- 長半軸與短半軸相等（a = b）的特殊橢圓，其離心率為 0。
常見問題
閒話 ― 橢圓與行星軌道
"橢圓"（ellipse）這個詞源自古希臘語 "ἔλλειψις"（elleipsis），意思是"不足"或"欠缺"——當一個圓錐被斜著切開時，得到的截面比起正圓總顯得"差了一點"，古希臘幾何學家便用這個略帶遺憾意味的詞為它命名。早在開普勒之前，古希臘數學家就已經通過研究圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）建立了完整的理論體系，只是當時誰也沒想到，這套純粹的幾何學竟會在兩千年後揭示宇宙執行的規律。
這個轉折發生在 1609 年，德國天文學家開普勒發表了他的第一定律：所有行星並非如古人所信奉的那樣沿著完美的正圓執行，而是沿著以太陽為一個焦點的橢圓軌道執行。這在當時是一個顛覆性的想法——畢竟"天體運動必須是完美的圓"這一信念，在西方天文學中已經根深蒂固了近兩千年。有趣的是，不同行星軌道的"橢圓程度"相差很大：地球軌道的離心率約為 0.0167，幾乎接近正圓，而冥王星的離心率則高達約 0.249，軌道明顯扁長，這也是為什麼冥王星與太陽的距離在其漫長的公轉週期中會有相當大的變化。
橢圓還有一個常被忽略的幾何性質，那就是"雙焦點反射"：從一個焦點發出的光線或聲波，經橢圓邊界反射後必定會精確地會聚到另一個焦點。這個性質並不只是數學上的巧思——一些"耳語廊"式的建築正是利用橢圓形的天花板，讓站在一個焦點位置輕聲說話的人，能被站在另一個焦點位置的人清晰聽見。從行星軌道到建築聲學，橢圓這種看似"不完美"的形狀，實際上處處透露著一種精確而優雅的秩序。