中國剩餘定理（CRT）計算器 — 求解一次同餘方程組
使用中國剩餘定理求解形如 x ≡ a₁ (mod n₁)、x ≡ a₂ (mod n₂)… 的同餘方程組。自動驗證各模數是否兩兩互素，並給出最小非負整數解與通解。
計算示例：《孫子算經》中的「物不知數」問題
這是中國剩餘定理起源之一的經典問題，出自約西元3至5世紀的算術著作《孫子算經》。「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」的答案是：以105為模，餘數為23。
| 條件1 | x ≡ 2 (mod 3) |
|---|---|
| 條件2 | x ≡ 3 (mod 5) |
| 條件3 | x ≡ 2 (mod 7) |
| 解 | x ≡ 23 (mod 105) |
使用提示
- 如果模數（nᵢ）之間不是兩兩互素，將會報錯。例如 mod 4 與 mod 6 的最大公約數為2，本計算器無法求解（這需要用到廣義中國剩餘定理）。
- 即使餘數 aᵢ 大於等於模數 nᵢ 或為負數也沒關係，程式內部會自動將其歸約到 mod nᵢ 後再計算。
- 最多可以新增5個同餘式（最少需要2個）。這類計算也可用於「猜測士兵人數」等需要同時滿足多個週期條件的經典謎題。
- 結果中的通解以 x ≡ 解 (mod N) 的形式給出：在解上加上 N 的任意整數倍，仍然滿足所有原始條件。
常見問題
它被廣泛應用於密碼學（利用CRT-RSA加速RSA解密）、計算機的糾錯編碼、曆法計算，以及使該定理得名的中國古代數謎題等領域。總的來說，它可以幫助你找到同時滿足多個週期性條件的數值。
本工具會顯示錯誤提示並不進行計算。當模數存在公因數時（例如 mod 4 與 mod 6），有時仍然存在解，但求解需要用到另一種演算法——廣義中國剩餘定理。本工具僅支援模數互素的經典版本。
可以新增2到5個同餘式。理論上只要模數兩兩互素，無論多少個同餘式都可以求解，但這個範圍已經覆蓋了絕大多數實際使用場景。
這不會被當作錯誤處理——程式會在內部自動將其歸約為 a mod n 後再求解。例如輸入 x ≡ 8 (mod 3)，會被當作 x ≡ 2 (mod 3) 處理。
閒話 ― 從三世紀的算術典籍到RSA加密的提速
中國剩餘定理的思想最早可追溯至《孫子算經》——一部約成書於西元3至5世紀的中國算術典籍——中著名的「物不知數」問題：「三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」。這個古老的謎題已經體現出與現代中國剩餘定理本質相同的思路：由若干個除法餘數反推出原始的未知數。
中國剩餘定理在現代最實用的應用之一，是加速RSA加密演算法的解密過程。RSA解密需要對一個大數取冪後再對合數 n = p × q（p、q 均為大素數）取模。相比直接對 n 取模，利用中國剩餘定理分別對 p 和 q 獨立計算再合併結果，理論上可將解密速度提升至接近4倍——這項技術被稱為「CRT-RSA」，已被許多密碼學庫採用。
本工具支援的是要求所有模數兩兩互素的「經典」中國剩餘定理。當模數存在公因數時（例如 mod 4 與 mod 6），有時仍然存在解，但判定與計算需要用到更為複雜的廣義中國剩餘定理演算法，這超出了本工具的範圍。