模運算計算器（Mod 計算器）
支援4種模式的模運算計算器：基本mod、模加減乘運算、模冪運算（快速冪/平方求冪法）、模逆元（擴充套件歐幾里得演算法）。使用 BigInt 精確處理負數取模和超大指數運算。
模運算的基本性質
| 性質 | 說明 |
|---|---|
| (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n | 無論是先取模再相加，還是先相加再取模，結果都是相同的。 |
| (a − b) mod n = ((a mod n) − (b mod n) + n) mod n | 由於減法的結果可能為負數，最後需要加上 n 再對 n 取模一次，才能將結果收斂到 [0, n) 的範圍內。 |
| (a × b) mod n = ((a mod n) × (b mod n)) mod n | 與加法相同，乘法在計算過程中取模也不會改變最終結果。這一性質正是快速冪（平方求冪法）演算法的基礎。 |
| a 和 n 互質 ⇔ a 模 n 的逆元存在 | 只有當擴充套件歐幾里得演算法求出 gcd(a, n) = 1 時，才存在滿足 a × x ≡ 1 (mod n) 的 x（逆元）。 |
Tips
- 不同程式語言對負數取模的處理方式並不相同。本工具遵循數學上的定義（結果始終在0以上、小於n），因此 -7 mod 3 的結果是2，而不是 -1。
- 冪運算模式採用"平方求冪法"計算，即使指數長達數百位也能瞬間得出結果。RSA加密演算法的加密解密過程也使用了相同的演算法。
- 時鐘的時間是模運算最貼近生活的例子。把"15點"換算成12小時制，就是 15 mod 12 = 3點。
- 即使 n 不是素數，只要 a 和 n 互質（最大公約數為1），逆元模式就能正常計算。
- 在競技程式設計中，經常會要求把巨大的答案對 1,000,000,007 等大素數取模後再輸出，而不是直接輸出原始答案。本工具的冪運算模式也可以用來驗證這類計算。
常見問題
在數學上同餘式的定義中，mod 的結果始終介於0（含）和模數（n）（不含）之間。因此 -7 mod 3 的結果是2（因為 -7 = -3×3 + 2），而不是 JavaScript 的 `%` 運算子直接返回的 -1。本工具遵循這一數學定義進行計算。
當你想在模運算的世界裡進行相當於"除法"的運算時，就需要用到模逆元。由於模運算中並未定義普通的除法，所以用乘以 a 的逆元來代替除以 a，從而得到同樣的效果。它常用於RSA金鑰生成（推導私鑰）、以及競技程式設計中要求"將答案對一個大素數取模後輸出"時涉及分數的場景。
本工具採用"平方求冪法"這一演算法，即使指數長達數百位，所需的乘法次數也只與指數的位數（準確地說是二進位制位數）成正比。與先算出完整的冪再取模的做法不同，本工具可以瞬間得出結果。
只有當 a 和 n 的最大公約數（gcd）為1（即兩者互質）時，a 模 n 的逆元才存在。例如當 a=4、n=8 時，gcd(4, 8)=4，不等於1，因此不存在滿足 4 × x ≡ 1 (mod 8) 的整數 x。如果 n 是素數，那麼只要 a 不是 n 的倍數，逆元就必然存在。
在實際使用中二者幾乎可以互換，但嚴格來說，"同餘"是一個數學概念，表示像 a ≡ b (mod n) 這樣兩個數具有相同餘數的關係；而"取模運算（mod運算）"則是指實際計算 a 除以 n 所得餘數的操作。本工具處理的正是餘數的具體計算。
閒話 ― 支撐現代密碼學的"時鐘算術"
模運算（同餘）常被稱為"時鐘算術（clock arithmetic）"。在12小時制的時鐘上，13點與1點被視為"相同"的時刻，這正是同餘式 13 ≡ 1 (mod 12) 本身，其核心思想是隻關注一個數被某個模（此處為12）除後所得的餘數。德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）一書中系統化了同餘符號"≡"，使這一思想成為現代數學的標準工具。
這個看似樸素的運算，正支撐著現代網際網路安全的根基。以RSA為代表的公鑰密碼體制中，"模冪運算"——計算一個巨大數字的冪再對模取餘——是加密與解密處理的核心環節。由於指數和模數動輒長達數百位，若單純先計算出冪再取餘，計算量會呈爆炸式增長；而使用平方求冪法，只需與指數位數成正比的乘法次數即可完成，實現了實用的運算速度。
通過擴充套件歐幾里得演算法計算模逆元，同樣是密碼學、編碼理論、雜湊函式設計等電腦科學眾多領域所依賴的基礎技術。"兩千多年前的古代算術"與"最前沿的安全技術"建立在同一個數學基礎之上，這一事實正象徵著數論的普適性。