模運算計算器（Mod 計算器）
支援4種模式的模運算計算器：基本mod、模加減乘運算、模冪運算（快速冪/平方求冪法）、模逆元（擴充套件歐幾里得演算法）。使用 BigInt 精確處理負數取模和超大指數運算。
模運算的基本性質
| 性質 | 說明 |
|---|---|
| (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n | 無論是先取模再相加，還是先相加再取模，結果都是相同的。 |
| (a − b) mod n = ((a mod n) − (b mod n) + n) mod n | 由於減法的結果可能為負數，最後需要加上 n 再對 n 取模一次，才能將結果收斂到 [0, n) 的範圍內。 |
| (a × b) mod n = ((a mod n) × (b mod n)) mod n | 與加法相同，乘法在計算過程中取模也不會改變最終結果。這一性質正是快速冪（平方求冪法）演算法的基礎。 |
| a 和 n 互質 ⇔ a 模 n 的逆元存在 | 只有當擴充套件歐幾里得演算法求出 gcd(a, n) = 1 時，才存在滿足 a × x ≡ 1 (mod n) 的 x（逆元）。 |
什麼是同餘式・模運算（mod計算）
模運算（同餘式運算）是一種只關注某個數除以特定正整數（稱為模數）後所得餘數的運算方式。當兩個整數 a、b 除以同一個模數 n 得到相同的餘數時，就稱「a 與 b 對模 n 同餘」，並記作 a ≡ b (mod n)。本工具提供「基本 mod」「加減乘運算」「冪運算」「逆元」四種模式，讓你能一次完成同餘式運算中最常用的各種計算。
所有計算都是以 JavaScript 原生的 BigInt 進行，因此即使指數多達數百位，或整數本身位數極大，加減乘運算依然不會產生四捨五入誤差，能得到精確的結果。輸入負數時，本工具也會依照數學上同餘式的定義（結果一律介於0與模數之間）自動正規化，不必再為各種程式語言剩餘運算子行為不一致而煩惱。
同餘式・模運算計算器的使用方式
- 選擇模式 從「基本 mod」「加減乘運算」「冪運算」「逆元」四種模式中，選擇你想進行的計算類型。
- 輸入整數 依照所選模式輸入 a、b、模 n（或底數與指數）。負整數也可以直接輸入。
- 選擇運算子（僅限加減乘運算模式） 從下拉選單中選擇加法、減法或乘法其中一種。
- 確認計算結果 每次輸入都會自動重新計算並顯示算式與結果。若逆元不存在，畫面會切換為對應的提示訊息。
- 重新輸入 點選「清除」按鈕即可將所有模式的輸入欄位清空。
用好本工具的小技巧
- 不同程式語言對負數取模的處理方式並不相同。本工具遵循數學上的定義（結果始終在0以上、小於n），因此 -7 mod 3 的結果是2，而不是 -1。
- 冪運算模式採用"平方求冪法"計算，即使指數長達數百位也能瞬間得出結果。RSA加密演算法的加密解密過程也使用了相同的演算法。
- 時鐘的時間是模運算最貼近生活的例子。把"15點"換算成12小時制，就是 15 mod 12 = 3點。
- 即使 n 不是素數，只要 a 和 n 互質（最大公約數為1），逆元模式就能正常計算。
- 在競技程式設計中，經常會要求把巨大的答案對 1,000,000,007 等大素數取模後再輸出，而不是直接輸出原始答案。本工具的冪運算模式也可以用來驗證這類計算。
同餘式・模運算的應用場景
學習公開金鑰加密演算法
RSA加密的加密與解密過程，本質上就是計算一個極大的數的冪對模數取餘。在冪運算模式中輸入較大的指數與模數，就能實際感受到平方求冪法的運算速度。
理解雜湊函式的設計原理
許多雜湊函式內部都會利用模運算，將龐大的數值收斂到固定範圍內。透過加減乘運算模式，可以觀察運算過程中餘數如何逐步變化。
驗證檢查碼的計算方式
ISBN、信用卡卡號、銀行帳號等常見的檢查碼，都是將各位數加權求和後對某個模數取餘計算出來的。用基本 mod 模式即可核對手算結果是否正確。
計算星期與日曆的週期
「n天後是星期幾」「閏年是幾年一個週期」這類具有週期性的問題，都可以表示成以7或4為模數的同餘式。
核對競技程式設計的答案
在「請將答案對 1,000,000,007 取餘後輸出」這類常見題型中，可以利用冪運算模式與加減乘運算模式，核對自己程式的計算結果是否正確。
同餘式・模運算相關術語
- 同餘式（congruence）
- 形如 a ≡ b (mod n) 的式子，表示「a 與 b 除以 n 的餘數相等」。之所以用「≡」而不是「=」，是因為相等的並非數值本身，而是餘數。
- 模數
- 作為除數的整數。本工具要求輸入1以上的整數。模數不同，即使是同一組數字，同餘關係也會不一樣。
- 模運算
- 實際計算某數除以模數後所得餘數的操作。依照數學定義，結果一律介於0（含）與模數（不含）之間。
- 模反元素
- 滿足 a・x ≡ 1 (mod n) 的整數 x，也稱為模逆元。在同餘式的世界裡，用「乘上 a 的模反元素」來取代「除以 a」，即可得到相同的效果。
- 互質
- 兩個整數的最大公因數為1。唯有 a 與 n 互質時，a 對模 n 的模反元素才存在。
- 擴充歐幾里得演算法
- 在求最大公因數的過程中，同時求出滿足 a・x + n・y = gcd(a, n) 的整數解 (x, y) 的演算法。逆元模式的計算即採用此方法。
- 快速冪（平方求冪法）
- 將指數展開為二進位表示，透過反覆將底數平方並視位元決定是否乘入結果，只需與指數位數成正比的乘法次數即可求出冪的演算法。冪運算模式即採用此方法。
- 模冪運算
- 計算底數的冪對模數取餘的運算。這是RSA加密演算法中加密與解密處理的核心運算，對應本工具的「冪運算」模式。
常見問題
% 運算子直接返回的 -1。本工具遵循這一數學定義進行計算。
閒話 ― 支撐現代密碼學的"時鐘算術"
模運算（同餘）常被稱為"時鐘算術（clock arithmetic）"。在12小時制的時鐘上，13點與1點被視為"相同"的時刻，這正是同餘式 13 ≡ 1 (mod 12) 本身，其核心思想是隻關注一個數被某個模（此處為12）除後所得的餘數。德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）一書中系統化了同餘符號"≡"，使這一思想成為現代數學的標準工具。
這個看似樸素的運算，正支撐著現代網際網路安全的根基。以RSA為代表的公鑰密碼體制中，"模冪運算"——計算一個巨大數字的冪再對模取餘——是加密與解密處理的核心環節。由於指數和模數動輒長達數百位，若單純先計算出冪再取餘，計算量會呈爆炸式增長；而使用平方求冪法，只需與指數位數成正比的乘法次數即可完成，實現了實用的運算速度。
通過擴充套件歐幾里得演算法計算模逆元，同樣是密碼學、編碼理論、雜湊函式設計等電腦科學眾多領域所依賴的基礎技術。"兩千多年前的古代算術"與"最前沿的安全技術"建立在同一個數學基礎之上，這一事實正象徵著數論的普適性。