階乘計算器（n!・排列nPr・組合nCr）
精確計算非負整數n的階乘n!。同時支援排列（nPr）與組合（nCr），使用BigInt實現無位數限制的精確整數計算。附帶0〜20的階乘速查表。
0〜20 的階乘速查表
彙總了0!到20!數值的一覽表。20!已經是19位數。
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Tips
- 階乘（n!）是1到n所有整數的連乘積。例如：5! = 5×4×3×2×1 = 120。特別規定 0! = 1。
- 排列（nPr）表示從n個不同元素中選出r個並「排序」的方法數。由於要區分順序，其值總是不小於對應的組合數。例如：5P2 = 5×4 = 20。
- 組合（nCr）表示從n個不同元素中「選出」r個（不區分順序）的方法數。例如：5C2 = 10（將5P2 = 20除以2個元素的排列方式數2!=2得到）。
- 階乘增長極其迅速，20!已達19位數，100!更是高達158位。本工具採用BigInt，即使n很大也能精確計算，無誤差。
- 若n過大（超過10,000），出於計算成本考慮會提示錯誤，這是為防止瀏覽器卡死而設定的實用上限。
常見問題
0! = 1 是數學上的一種約定。如果將其理解為「排列空集合（什麼都不選）的方法只有1種（即不做任何排列這一種方式）」便很自然，同時這也是使階乘性質 n! = n × (n-1)! 在n=1時依然成立所必需的定義。
排列（nPr）是「選出並排序」的方法數，區分順序（AB和BA不同）。組合（nCr）只是「選出」，不區分順序（AB和BA相同）。因此始終有 nCr ≤ nPr，且滿足 nCr = nPr ÷ r! 的關係。
支援到10,000以內的整數。10,000!是超過35,000位的巨大數字，超出這個範圍可能會因顯示和計算成本導致瀏覽器變卡，因此設定了這一實用上限。
除了排列、組合的計算外，階乘在機率論（骰子、撲克牌的組合）、統計學（二項分佈、泊松分佈的計算公式）、泰勒展開（如eˣ等級數展開中會出現階乘）等數學的多個領域中都發揮著基礎性作用。
閒話 ― 階乘符號「！」為什麼是感嘆號
表示階乘的符號「！」據說是1808年法國數學家克里斯蒂安·克蘭普（Christian Kramp）在其著作中引入的。在此之前，不同數學家各自使用五花八門的表示法，並無統一標準。關於克蘭普選擇這一符號的原因說法不一，但流傳較廣的說法是，它表達了對階乘數值急劇增長的「驚歎」之情。
階乘的急速增長也體現在斯特林近似公式（n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ）中，該公式被廣泛用於統計學、機率論、組合數學等領域的近似計算。事實上，對於精確計算n!都十分困難的巨大n值，這一近似公式在實際應用中發揮著重要作用。
排列、組合的思想是解決許多日常機率問題的基礎，例如彩票中獎機率的計算，以及一副撲克牌的洗牌方式數量（52張撲克牌的排列方式共有52!種，約8×10⁶⁷種）。組合數nCr也出現在「帕斯卡三角形」的每一行數字中，並與二項式定理（(a+b)ⁿ的展開）密切相關。