模运算计算器（Mod 计算器）
支持4种模式的模运算计算器：基本mod、模加减乘运算、模幂运算（快速幂/平方求幂法）、模逆元（扩展欧几里得算法）。使用 BigInt 精确处理负数取模和超大指数运算。
模运算的基本性质
| 性质 | 说明 |
|---|---|
| (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n | 无论是先取模再相加，还是先相加再取模，结果都是相同的。 |
| (a − b) mod n = ((a mod n) − (b mod n) + n) mod n | 由于减法的结果可能为负数，最后需要加上 n 再对 n 取模一次，才能将结果收敛到 [0, n) 的范围内。 |
| (a × b) mod n = ((a mod n) × (b mod n)) mod n | 与加法相同，乘法在计算过程中取模也不会改变最终结果。这一性质正是快速幂（平方求幂法）算法的基础。 |
| a 和 n 互质 ⇔ a 模 n 的逆元存在 | 只有当扩展欧几里得算法求出 gcd(a, n) = 1 时，才存在满足 a × x ≡ 1 (mod n) 的 x（逆元）。 |
Tips
- 不同编程语言对负数取模的处理方式并不相同。本工具遵循数学上的定义（结果始终在0以上、小于n），因此 -7 mod 3 的结果是2，而不是 -1。
- 幂运算模式采用"平方求幂法"计算，即使指数长达数百位也能瞬间得出结果。RSA加密算法的加密解密过程也使用了相同的算法。
- 时钟的时间是模运算最贴近生活的例子。把"15点"换算成12小时制，就是 15 mod 12 = 3点。
- 即使 n 不是素数，只要 a 和 n 互质（最大公约数为1），逆元模式就能正常计算。
- 在竞技编程中，经常会要求把巨大的答案对 1,000,000,007 等大素数取模后再输出，而不是直接输出原始答案。本工具的幂运算模式也可以用来验证这类计算。
常见问题
在数学上同余式的定义中，mod 的结果始终介于0（含）和模数（n）（不含）之间。因此 -7 mod 3 的结果是2（因为 -7 = -3×3 + 2），而不是 JavaScript 的 `%` 运算符直接返回的 -1。本工具遵循这一数学定义进行计算。
当你想在模运算的世界里进行相当于"除法"的运算时，就需要用到模逆元。由于模运算中并未定义普通的除法，所以用乘以 a 的逆元来代替除以 a，从而得到同样的效果。它常用于RSA密钥生成（推导私钥）、以及竞技编程中要求"将答案对一个大素数取模后输出"时涉及分数的场景。
本工具采用"平方求幂法"这一算法，即使指数长达数百位，所需的乘法次数也只与指数的位数（准确地说是二进制位数）成正比。与先算出完整的幂再取模的做法不同，本工具可以瞬间得出结果。
只有当 a 和 n 的最大公约数（gcd）为1（即两者互质）时，a 模 n 的逆元才存在。例如当 a=4、n=8 时，gcd(4, 8)=4，不等于1，因此不存在满足 4 × x ≡ 1 (mod 8) 的整数 x。如果 n 是素数，那么只要 a 不是 n 的倍数，逆元就必然存在。
在实际使用中二者几乎可以互换，但严格来说，"同余"是一个数学概念，表示像 a ≡ b (mod n) 这样两个数具有相同余数的关系；而"取模运算（mod运算）"则是指实际计算 a 除以 n 所得余数的操作。本工具处理的正是余数的具体计算。
闲话 ― 支撑现代密码学的"时钟算术"
模运算（同余）常被称为"时钟算术（clock arithmetic）"。在12小时制的时钟上，13点与1点被视为"相同"的时刻，这正是同余式 13 ≡ 1 (mod 12) 本身，其核心思想是只关注一个数被某个模（此处为12）除后所得的余数。德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）一书中系统化了同余符号"≡"，使这一思想成为现代数学的标准工具。
这个看似朴素的运算，正支撑着现代互联网安全的根基。以RSA为代表的公钥密码体制中，"模幂运算"——计算一个巨大数字的幂再对模取余——是加密与解密处理的核心环节。由于指数和模数动辄长达数百位，若单纯先计算出幂再取余，计算量会呈爆炸式增长；而使用平方求幂法，只需与指数位数成正比的乘法次数即可完成，实现了实用的运算速度。
通过扩展欧几里得算法计算模逆元，同样是密码学、编码理论、哈希函数设计等计算机科学众多领域所依赖的基础技术。"两千多年前的古代算术"与"最前沿的安全技术"建立在同一个数学基础之上，这一事实正象征着数论的普适性。