圖形數（三角數・四角數・五角數・六角數）計算器
計算三角數・四角數（平方數）・五角數・六角數從第1項到第N項的值，並用圖表進行對比。也可立即計算任意第n項的值。附帶第1〜15項速查表。
三角數・四角數・五角數・六角數 第1〜15項速查表
彙總了4種圖形數從第1項到第15項數值的一覽表。
| n | 三角數 | 四角數（平方數） | 五角數 | 六角數 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
形數是什麼
形數是把點按規則排成正多邊形時點的總數。排成三角形便是三角形數（1、3、6、10……），排成正方形便是正方形數（1、4、9、16……），排成五邊形便是五邊形數（1、5、12、22……）。正方形數與平方數一致，是因為排成正方形的點恰好是 n × n——這是幾何與代數直接相連的淺顯例子。
每一類形數都有簡潔的通項。三角形數為 n(n+1)/2，正方形數為 n²，五邊形數為 n(3n−1)/2，六邊形數為 n(2n−1)。人們還知道相鄰兩個三角形數相加即得正方形數、六邊形數與奇數項的三角形數一致等關係，欣賞數列之間意想不到的聯繫，正是形數的趣味所在。本工具可計算自第1項至第N項並以圖形比較，也能直接求出第n項。
計算形數的步驟
- 選擇形數的種類 在三角形數、正方形數、五邊形數、六邊形數中選擇。
- 指定顯示的項數 自第1項至第N項會以一覽與圖形顯示。
- 用圖形比較成長 可直觀看出角數越多的形數成長越陡。
- 直接求第n項 對於較大的 n，也可只求出該項的值。
用好本工具的小技巧
- 三角數T(n) = n(n+1)/2 表示將點堆疊成正三角形時的點數總和。保齡球瓶的擺放方式（10支）就是三角數T(4)=10的例子。
- 四角數（平方數）S(n) = n² 表示將點排列成正方形時的點數總和。「依次相加奇數即得平方數」（1, 1+3=4, 1+3+5=9……）這一性質也廣為人知。
- 五角數P(n) = n(3n−1)/2 與六角數H(n) = n(2n−1) 分別表示將點排列成正五邊形、正六邊形時的點數總和。所有六角數必定也是三角數（H(n) = T(2n−1)）。
- 圖表可以比較4種圖形數的增長速度。相同的n下，頂點數（3、4、5、6）越多的k邊形數往往數值越大。
- 本工具最高支援到第1000項。由於項數越大數值增長越快，圖表和表格的顯示項數為了便於檢視限制在1〜30之間。
這些情境會用到
學習數列
把通項的推導與實際數值相互印證，確認算式的含義。
驗證數列之間的關係
可用實際數字檢驗相鄰三角形數之和是否為正方形數等命題。
程式設計練習題
寫好求形數的函式後，可與正確值相互比對。
為解謎與競賽數學做功課
形數常出現在數論題目中，備有數值一覽便更易看出端倪。
形數的術語
- 三角形數
- 點排成三角形時的總數，通項為 n(n+1)/2。與1到n的和一致。
- 正方形數（平方數）
- 點排成正方形時的總數，為 n²。
- 五邊形數
- 點排成正五邊形時的總數，為 n(3n−1)/2。
- 六邊形數
- 點排成正六邊形時的總數，為 n(2n−1)。與奇數項的三角形數一致。
- 通項
- 以 n 的算式表示數列第n項者。各類形數皆有簡潔的通項。
- 多邊形數定理
- 任何自然數至多可表為3個三角形數、4個正方形數或5個五邊形數之和的定理。
常見問題
閒話 ― 畢達哥拉斯學派在圖形數中發現的「數字奧秘」
圖形數（多邊形數）的研究可以追溯到西元前6世紀左右古希臘的畢達哥拉斯學派。他們秉持「萬物皆數」的理念，通過將點排列成幾何形狀來直觀理解數字的性質。「三角數」「四角數」等名稱本身就來自點排列後形成的圖形形狀。
三角數與四角數之間存在一種美妙的關係：將兩個連續的三角數相加必定得到四角數（例：T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²）。實際畫出點的排列圖後可以直觀地理解這一點。這種幾何證明方法對後來數論的發展產生了深遠影響。
圖形數至今仍是現代數學的研究物件。例如「所有六角數同時也是三角數」這一性質，以及探索同時滿足多種圖形數定義的數，如今仍是數論中常見的練習題。畢達哥拉斯學派在2500年前沒有紙筆、僅憑排列小石子發現的許多性質，至今仍作為正確的定理成立，這實在令人驚歎。