欧拉函数（φ函数・互质数个数）计算器

输入整数 N（1〜1,000,000），立即计算1到N之间与N互质的整数个数（欧拉函数 φ(N)），不仅给出答案，还显示质因数分解与计算公式。附带1〜100的φ(n)速查表，完全免费。

最后更新: 2026-09-06

1〜100 的φ(n)速查表

汇总了1到100的每个整数的质因数分解与欧拉函数值的一览表。

N	质因数分解	φ(n)
1	1	1
2	2	1
3	3	2
4	2²	2
5	5	4
6	2 × 3	2
7	7	6
8	2³	4
9	3²	6
10	2 × 5	4
11	11	10
12	2² × 3	4
13	13	12
14	2 × 7	6
15	3 × 5	8
16	2⁴	8
17	17	16
18	2 × 3²	6
19	19	18
20	2² × 5	8
21	3 × 7	12
22	2 × 11	10
23	23	22
24	2³ × 3	8
25	5²	20
26	2 × 13	12
27	3³	18
28	2² × 7	12
29	29	28
30	2 × 3 × 5	8
31	31	30
32	2⁵	16
33	3 × 11	20
34	2 × 17	16
35	5 × 7	24
36	2² × 3²	12
37	37	36
38	2 × 19	18
39	3 × 13	24
40	2³ × 5	16
41	41	40
42	2 × 3 × 7	12
43	43	42
44	2² × 11	20
45	3² × 5	24
46	2 × 23	22
47	47	46
48	2⁴ × 3	16
49	7²	42
50	2 × 5²	20
51	3 × 17	32
52	2² × 13	24
53	53	52
54	2 × 3³	18
55	5 × 11	40
56	2³ × 7	24
57	3 × 19	36
58	2 × 29	28
59	59	58
60	2² × 3 × 5	16
61	61	60
62	2 × 31	30
63	3² × 7	36
64	2⁶	32
65	5 × 13	48
66	2 × 3 × 11	20
67	67	66
68	2² × 17	32
69	3 × 23	44
70	2 × 5 × 7	24
71	71	70
72	2³ × 3²	24
73	73	72
74	2 × 37	36
75	3 × 5²	40
76	2² × 19	36
77	7 × 11	60
78	2 × 3 × 13	24
79	79	78
80	2⁴ × 5	32
81	3⁴	54
82	2 × 41	40
83	83	82
84	2² × 3 × 7	24
85	5 × 17	64
86	2 × 43	42
87	3 × 29	56
88	2³ × 11	40
89	89	88
90	2 × 3² × 5	24
91	7 × 13	72
92	2² × 23	44
93	3 × 31	60
94	2 × 47	46
95	5 × 19	72
96	2⁵ × 3	32
97	97	96
98	2 × 7²	42
99	3² × 11	60
100	2² × 5²	40

什么是欧拉函数

欧拉函数（totient 函数）φ(n) 表示1到 n 的整数中与 n 互素者共有多少个。互素是指最大公约数为1，也就是不含共同的素因数。例如 φ(9)，即数出与9没有共同素因数的 1、2、4、5、7、8 这六个，故为6。

本工具只需填入整数 N 即可求出 φ(N)，并且不仅给出答案，还会一并列出 **N 的素因数分解，以及由此导出 φ(N) 的计算式**。计算式为 φ(n) = n × Π(1 − 1/p)，其中 p 为 n 的相异素因数。同一素因数无论作几次幂，在乘积中只出现一次，指数不影响结果。适用范围为1至1,000,000，并附有1至100的 φ(n) 速查表。

欧拉函数计算器的使用方法

输入整数 N 填入1以上1,000,000以下的整数。超出范围或非整数的值会给出错误提示。
读取 φ(N) 的值输入的同时即显示1〜N 中与 N 互素的整数个数。
确认素因数分解会显示 N 分解为哪些素数之积，可作为追溯 φ(N) 之值由来的线索。
循计算式追踪推导会显示把实际素因数代入 φ(n) = n × Π(1 − 1/p) 后的算式，可直接用于手算的验算。
用速查表与其他值比对下方列有1至100的 φ(n) 一览。诸如「为素数时等于 n − 1」这类规律，皆可用肉眼确认。

用好本工具的小技巧

欧拉函数 φ(n)表示1到n之间与n互质的整数个数。例如 φ(9) = 6（1, 2, 4, 5, 7, 8 这6个数与9互质）。
当n是质数p时，φ(p) = p − 1，因为除p自身外，1到p之间的所有数都与质数互质。
当n是两个不同质数p、q的乘积时，φ(pq) = (p−1)(q−1)，这一性质直接用于RSA加密的密钥生成。
公式 φ(n) = n × Π(1 − 1/p) 是对n的所有不同质因数p的连乘积，质因数的指数不影响结果。
本工具支持1〜1,000,000的范围，使用试除法进行质因数分解，可即时求出φ(n)。

欧拉函数派上用场的场景

数论的学习与作业验算

可确认手算所得的 φ(n) 是否正确。因并列显示素因数分解与计算式，不仅能查出答案之误，也能查出推导之误。

理解 RSA 加密的原理

RSA 以两个素数 p、q 之积 n = pq 作为公钥，而生成私钥则需要 φ(n) = (p−1)(q−1)。用小素数实际算一遍，便能具体把握这一关系。

验证欧拉定理

对与 n 互素的 a，a^φ(n) 除以 n 的余数为1，这便是欧拉定理。先求出 φ(n)，即可用小数值实际试验其成立。

观察积性函数的性质

当 m 与 n 互素时，φ(mn) = φ(m)φ(n) 成立。把速查表中的值组合起来，即可确认此性质确实成立。

想查素因数分解本身时

若只需分解的结果，请使用素因数分解；若要判定是否为素数，请使用素数判定。

与欧拉函数相关的术语

欧拉函数（totient 函数）: 指返回1到 n 的整数中与 n 互素者个数的函数。记作 φ(n)，由18世纪的莱昂哈德·欧拉引入。
互素: 指两个整数的最大公约数为1的状态，与「不含任何共同素因数」同义。
素因数分解: 指把整数写成素数之积的形式。因 φ(n) 仅由 n 的相异素因数决定，故此分解即为计算的起点。
积性函数: 指对互素的 m 与 n 满足 f(mn) = f(m)f(n) 的函数。φ 具有此性质，这也正是可把大数的 φ 按素因数分开求得的缘由。
欧拉定理: 指对与 n 互素的整数 a，a 的 φ(n) 次幂除以 n 的余数必为1的定理。限定于素数的情形即为费马小定理。
RSA 加密: 指以两个大素数之积作为公钥的公钥加密。私钥的计算需要 φ(n)，而若无法把 n 素因数分解便无从求得 φ(n)，这正是其安全性的依据之一。

常见问题

除了作为数论的基础理论外，它在密码学中也扮演核心角色，尤其是RSA加密的密钥生成。RSA加密计算私钥时会用到 φ(n) = (p−1)(q−1) 的值。

按照惯例，规定 φ(1) = 1。虽然「与1互质且不超过1的整数」只有1本身，但为了保持函数作为「乘法函数」的一致性，数学上标准做法是定义φ(1) = 1。

是的。质数p除了1和p自身外没有其他约数，因此1到p之间除p以外的所有数都与p互质，即 φ(p) = p − 1。

RSA加密将两个大质数p、q的乘积 n = pq 作为公钥的一部分。计算私钥需要 φ(n) = (p−1)(q−1) 的值，但若不能对n进行质因数分解就无法求出φ(n)，大数分解的困难性正是RSA加密安全性的基础。

闲话 ― 18世纪欧拉发现的「互质计数」函数

欧拉函数（φ函数）据称是18世纪瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1763年前后提出的，最初是在将费马小定理推广到合数的过程中被研究的。如今通用的符号φ（phi）是后来的数学家整理记号体系后才固定下来的。

「统计互质数」看似朴素，但φ(n)有许多优美的性质。例如，将n的所有约数d的φ(d)相加，结果必然等于n本身（Σφ(d) = n），这是初等数论中的一个基本恒等式。

如今，φ(n)在RSA加密中扮演着不可或缺的角色。RSA加密使用两个大质数p、q的乘积 n = pq 作为公钥的一部分，而计算私钥则需要 φ(n) = (p−1)(q−1) 的值。只要无法对n进行质因数分解就无法求出φ(n)（至少目前已知的算法如此），这正是RSA加密安全性的基础之一。

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