欧拉函数（φ函数）计算器
输入整数 N（1〜1,000,000），立即计算1到N之间与N互质的整数个数（欧拉函数 φ(N)），并显示质因数分解与计算公式。附带1〜100的φ(n)速查表。
1〜100 的φ(n)速查表
汇总了1到100的每个整数的质因数分解与欧拉函数值的一览表。
| N | 质因数分解 | φ(n) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 2² | 2 |
| 5 | 5 | 4 |
| 6 | 2 × 3 | 2 |
| 7 | 7 | 6 |
| 8 | 2³ | 4 |
| 9 | 3² | 6 |
| 10 | 2 × 5 | 4 |
| 11 | 11 | 10 |
| 12 | 2² × 3 | 4 |
| 13 | 13 | 12 |
| 14 | 2 × 7 | 6 |
| 15 | 3 × 5 | 8 |
| 16 | 2⁴ | 8 |
| 17 | 17 | 16 |
| 18 | 2 × 3² | 6 |
| 19 | 19 | 18 |
| 20 | 2² × 5 | 8 |
| 21 | 3 × 7 | 12 |
| 22 | 2 × 11 | 10 |
| 23 | 23 | 22 |
| 24 | 2³ × 3 | 8 |
| 25 | 5² | 20 |
| 26 | 2 × 13 | 12 |
| 27 | 3³ | 18 |
| 28 | 2² × 7 | 12 |
| 29 | 29 | 28 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | 8 |
| 31 | 31 | 30 |
| 32 | 2⁵ | 16 |
| 33 | 3 × 11 | 20 |
| 34 | 2 × 17 | 16 |
| 35 | 5 × 7 | 24 |
| 36 | 2² × 3² | 12 |
| 37 | 37 | 36 |
| 38 | 2 × 19 | 18 |
| 39 | 3 × 13 | 24 |
| 40 | 2³ × 5 | 16 |
| 41 | 41 | 40 |
| 42 | 2 × 3 × 7 | 12 |
| 43 | 43 | 42 |
| 44 | 2² × 11 | 20 |
| 45 | 3² × 5 | 24 |
| 46 | 2 × 23 | 22 |
| 47 | 47 | 46 |
| 48 | 2⁴ × 3 | 16 |
| 49 | 7² | 42 |
| 50 | 2 × 5² | 20 |
| 51 | 3 × 17 | 32 |
| 52 | 2² × 13 | 24 |
| 53 | 53 | 52 |
| 54 | 2 × 3³ | 18 |
| 55 | 5 × 11 | 40 |
| 56 | 2³ × 7 | 24 |
| 57 | 3 × 19 | 36 |
| 58 | 2 × 29 | 28 |
| 59 | 59 | 58 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | 16 |
| 61 | 61 | 60 |
| 62 | 2 × 31 | 30 |
| 63 | 3² × 7 | 36 |
| 64 | 2⁶ | 32 |
| 65 | 5 × 13 | 48 |
| 66 | 2 × 3 × 11 | 20 |
| 67 | 67 | 66 |
| 68 | 2² × 17 | 32 |
| 69 | 3 × 23 | 44 |
| 70 | 2 × 5 × 7 | 24 |
| 71 | 71 | 70 |
| 72 | 2³ × 3² | 24 |
| 73 | 73 | 72 |
| 74 | 2 × 37 | 36 |
| 75 | 3 × 5² | 40 |
| 76 | 2² × 19 | 36 |
| 77 | 7 × 11 | 60 |
| 78 | 2 × 3 × 13 | 24 |
| 79 | 79 | 78 |
| 80 | 2⁴ × 5 | 32 |
| 81 | 3⁴ | 54 |
| 82 | 2 × 41 | 40 |
| 83 | 83 | 82 |
| 84 | 2² × 3 × 7 | 24 |
| 85 | 5 × 17 | 64 |
| 86 | 2 × 43 | 42 |
| 87 | 3 × 29 | 56 |
| 88 | 2³ × 11 | 40 |
| 89 | 89 | 88 |
| 90 | 2 × 3² × 5 | 24 |
| 91 | 7 × 13 | 72 |
| 92 | 2² × 23 | 44 |
| 93 | 3 × 31 | 60 |
| 94 | 2 × 47 | 46 |
| 95 | 5 × 19 | 72 |
| 96 | 2⁵ × 3 | 32 |
| 97 | 97 | 96 |
| 98 | 2 × 7² | 42 |
| 99 | 3² × 11 | 60 |
| 100 | 2² × 5² | 40 |
Tips
- 欧拉函数 φ(n)表示1到n之间与n互质的整数个数。例如 φ(9) = 6（1, 2, 4, 5, 7, 8 这6个数与9互质）。
- 当n是质数p时，φ(p) = p − 1，因为除p自身外，1到p之间的所有数都与质数互质。
- 当n是两个不同质数p、q的乘积时，φ(pq) = (p−1)(q−1)，这一性质直接用于RSA加密的密钥生成。
- 公式 φ(n) = n × Π(1 − 1/p) 是对n的所有不同质因数p的连乘积，质因数的指数不影响结果。
- 本工具支持1〜1,000,000的范围，使用试除法进行质因数分解，可即时求出φ(n)。
常见问题
除了作为数论的基础理论外，它在密码学中也扮演核心角色，尤其是RSA加密的密钥生成。RSA加密计算私钥时会用到 φ(n) = (p−1)(q−1) 的值。
按照惯例，规定 φ(1) = 1。虽然「与1互质且不超过1的整数」只有1本身，但为了保持函数作为「乘法函数」的一致性，数学上标准做法是定义φ(1) = 1。
是的。质数p除了1和p自身外没有其他约数，因此1到p之间除p以外的所有数都与p互质，即 φ(p) = p − 1。
RSA加密将两个大质数p、q的乘积 n = pq 作为公钥的一部分。计算私钥需要 φ(n) = (p−1)(q−1) 的值，但若不能对n进行质因数分解就无法求出φ(n)，大数分解的困难性正是RSA加密安全性的基础。
闲话 ― 18世纪欧拉发现的「互质计数」函数
欧拉函数（φ函数）据称是18世纪瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1763年前后提出的，最初是在将费马小定理推广到合数的过程中被研究的。如今通用的符号φ（phi）是后来的数学家整理记号体系后才固定下来的。
「统计互质数」看似朴素，但φ(n)有许多优美的性质。例如，将n的所有约数d的φ(d)相加，结果必然等于n本身（Σφ(d) = n），这是初等数论中的一个基本恒等式。
如今，φ(n)在RSA加密中扮演着不可或缺的角色。RSA加密使用两个大质数p、q的乘积 n = pq 作为公钥的一部分，而计算私钥则需要 φ(n) = (p−1)(q−1) 的值。只要无法对n进行质因数分解就无法求出φ(n)（至少目前已知的算法如此），这正是RSA加密安全性的基础之一。