Rechner für harmonische Schwingung (Feder-Masse-System & Pendel)

Berechnen Sie Periode, Frequenz und Kreisfrequenz eines Feder-Masse-Systems oder eines Fadenpendels, und stellen Sie die zeitliche Änderung von Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung grafisch dar. Lernen Sie die Physik der Schwingung anhand von Federkonstante und Masse oder Pendellänge und Erdbeschleunigung.

Zuletzt aktualisiert: 2026-09-16

Was ist die Berechnung harmonischer Schwingungen (Feder-Masse-System & Pendel)?

Eine harmonische Schwingung ist eine periodische Hin- und Herbewegung, die durch eine „Rückstellkraft" entsteht, die proportional zur Auslenkung ist und ihr entgegengesetzt wirkt. Dieses Werkzeug behandelt die beiden klassischen Beispiele harmonischer Schwingung: ein Feder-Masse-System (bestimmt durch Federkonstante k und Masse m) und ein Fadenpendel (bestimmt durch Länge L und Erdbeschleunigung g), und berechnet für beide die Periode T, die Frequenz f und die Kreisfrequenz ω.

Geben Sie einfach Ihre Werte ein, und das Werkzeug wendet die Standardformeln (T=2π√(m/k) für ein Feder-Masse-System, T=2π√(L/g) für ein Pendel) an, um sofort Ergebnisse zu liefern, zusammen mit einem Diagramm, das zeigt, wie sich Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Zeitverlauf entwickeln. Nützlich für den Physikunterricht, die Überprüfung von Laborberichten und das Nachrechnen von Formeln.

So verwenden Sie den Rechner für harmonische Schwingung

Modus wählen Wechseln Sie oben auf der Seite zwischen „Feder-Masse-System" und „Fadenpendel", je nachdem, welches System Sie berechnen möchten.
Erforderliche Werte eingeben Geben Sie beim Feder-Masse-System die Federkonstante k und die Masse m ein. Beim Pendel geben Sie die Länge L und die Erdbeschleunigung g ein.
Amplitude oder Auslenkwinkel festlegen Geben Sie die Amplitude für die Feder oder den anfänglichen Auslenkwinkel (bis 15°) für das Pendel an. Dies bestimmt die Schwingung im Diagramm.
Ergebnisse und Diagramm ablesen Periode, Frequenz und Kreisfrequenz werden automatisch berechnet, und ein Diagramm zeigt Auslenkung x(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t) über die Zeit.
Verschiedene Werte vergleichen Ändern Sie Masse, Länge oder Erdbeschleunigung und berechnen Sie erneut, um zu sehen, wie die Periode auf jede Variable reagiert.

Tipps für die Nutzung

Die Periode eines Feder-Masse-Systems hängt nur von der Federkonstante und der Masse ab, nicht von der Amplitude. Ändern Sie die Amplitude und beobachten Sie, wie die Periode im Diagramm gleich bleibt.
Die Pendelformel T=2π√(L/g) ist nur bei kleinen Auslenkwinkeln (etwa unter 15°) genau. Bei größeren Winkeln wird die tatsächliche Periode länger als dieser berechnete Wert.
Die Masse hat überhaupt keinen Einfluss auf die Periode eines Fadenpendels. Ein schwereres oder leichteres Gewicht an der gleichen Schnurlänge schwingt mit derselben Periode.
Wechseln Sie die Schwerkraft auf „Mond“, um zu sehen, wie dieselbe Pendellänge dort eine längere Periode ergibt als auf der Erde – schwächere Schwerkraft bedeutet eine schwächere Rückstellkraft, wodurch die Schwingung langsamer wird.
Beachten Sie im Diagramm, dass die Geschwindigkeit genau dann null ist, wenn die Auslenkung ihr Maximum oder Minimum erreicht – dies zeigt anschaulich die Phasenverschiebung von 90 Grad zwischen Auslenkung und Geschwindigkeit.

Einsatzmöglichkeiten dieses Rechners für harmonische Schwingung

Physik-Hausaufgaben und Prüfungsvorbereitung

Überprüfen Sie Ihre Antworten zu Perioden-Aufgaben bei Feder-Masse-Systemen und Pendeln und bestätigen Sie Ihr Verständnis der Formeln.

Überprüfung von Laborergebnissen

Vergleichen Sie eine gemessene Periode aus einem echten Pendel- oder Federexperiment mit dem theoretischen Wert, um den Messfehler abzuschätzen.

Unterrichtshilfe für Demonstrationen

Lehrkräfte können Schülern in Echtzeit zeigen, wie sich Amplitude, Masse oder Schwerkraft auf die Periode und das Bewegungsdiagramm auswirken.

Überschlägige technische Schätzungen

Erhalten Sie eine schnelle Schätzung der Schwingungsperiode beim Entwurf eines einfachen Federmechanismus oder eines pendelbasierten Geräts.

Glossar zur harmonischen Schwingung

Harmonische Schwingung: Eine periodische Hin- und Herbewegung, erzeugt durch eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft, bei der die Auslenkung im Zeitverlauf einer Sinuskurve folgt.
Rückstellkraft: Die Kraft, die ein Objekt zu seiner Gleichgewichtslage zurückzieht. Bei einer Feder ist dies das Hookesche Gesetz (F=-kx), beim Pendel die Tangentialkomponente der Schwerkraft.
Kreisfrequenz (ω): Die Änderungsrate der Phase pro Zeiteinheit, gemessen in rad/s. Sie hängt über ω=2π/T mit der Periode T zusammen.
Periode (T): Die Zeit für einen vollständigen Hin- und Herzyklus, in Sekunden. T=2π√(m/k) für ein Feder-Masse-System bzw. T=2π√(L/g) für ein Pendel.
Federkonstante (k): Ein Maß für die Steifigkeit einer Feder, in N/m. Ein größeres k bedeutet, dass mehr Kraft nötig ist, um dieselbe Auslenkung zu erzeugen, was eine kürzere Periode ergibt.
Fadenpendel: Ein idealisiertes Pendelmodell, bestehend aus einer an einer masselosen Schnur aufgehängten Masse, die durch einen kleinen Winkel schwingt.
Kleinwinkelnäherung: Die Näherung sinθ≈θ, gültig, wenn der Auslenkwinkel θ klein ist. Die Formel für die Periode des Fadenpendels beruht auf dieser Näherung.

Häufig gestellte Fragen

Löst man die Bewegungsgleichung m(d²x/dt²)=-kx, erhält man eine Kreisfrequenz ω=√(k/m), die keinen Amplitudenterm enthält. Eine größere Amplitude bedeutet eine größere Auslenkung, aber nach dem Hookeschen Gesetz wird auch die Rückstellkraft proportional größer, sodass sich die Beschleunigung im gleichen Verhältnis ändert – die Zeit für einen vollständigen Zyklus bleibt konstant. Diese Eigenschaft wird als „Isochronismus“ der harmonischen Schwingung bezeichnet und ist dasselbe Prinzip, das Galileo als Grundlage für Pendeluhren erkannte.

Die exakte Bewegungsgleichung eines Pendels enthält einen sinθ-Term, der sich nur schwer direkt lösen lässt. Ist θ klein, gilt sinθ≈θ (die Kleinwinkelnäherung), wodurch sich die Gleichung auf dieselbe Form wie bei der harmonischen Schwingung vereinfachen lässt und die einfache Formel T=2π√(L/g) entsteht. Überschreitet der Auslenkwinkel etwa 15°, wird der Unterschied zwischen sinθ und θ nicht mehr vernachlässigbar, und die tatsächliche Periode wird länger als von dieser Formel vorhergesagt.

Beide Systeme werden durch eine Rückstellkraft angetrieben, die proportional zur Auslenkung ist und ihr entgegengesetzt wirkt. Bei einer Feder ist das das Hookesche Gesetz (F=-kx), bei einem Pendel unter der Kleinwinkelnäherung die Tangentialkomponente der Schwerkraft (F≈-mg/L·x). Da beide dieselbe Struktur teilen, lassen sich beide mit derselben Formel beschreiben: Kreisfrequenz ω=√(Proportionalitätskonstante der Rückstellkraft / Trägheitsterm).

Nein. Die Masse steht auf beiden Seiten der Bewegungsgleichung des Pendels und hebt sich bei der Herleitung auf, sodass sie in der endgültigen Formel T=2π√(L/g) nicht mehr vorkommt. Dies ist dieselbe Eigenschaft, die Galileo Berichten zufolge durch Experimente mit unterschiedlich schweren Pendeln bestätigte.

Da die Periode proportional zur Quadratwurzel der Länge ist, verdoppelt sich die Periode nicht, sondern wird mit √2 (etwa 1,41-fach) multipliziert. Eine nützliche Merkregel: Vervierfacht man die Länge, verdoppelt sich die Periode genau.

Übrigens – Galileo und die schwingende Lampe

Eine bekannte Geschichte, mit der die harmonische Schwingung oft eingeführt wird, handelt von einem jungen Galileo Galilei, der in einer Kathedrale einen schwingenden Kronleuchter beobachtete. Mit seinem eigenen Puls als Zeitmesser soll er festgestellt haben, dass die Zeit für eine vollständige Schwingung sich kaum änderte, obwohl der Ausschlag allmählich kleiner wurde. Diese Beobachtung gilt weithin als früher Schritt hin zur Erfindung der Pendeluhr und zur umfassenderen mathematischen Beschreibung der Schwingung in der Physik.

Feder-Masse-Systeme und Pendel sehen sehr unterschiedlich aus und bewegen sich auch anders, doch mathematisch werden beide von derselben zugrunde liegenden Eigenschaft bestimmt: einer Rückstellkraft, die proportional zur Auslenkung ist (eine lineare, dem Hookeschen Gesetz ähnliche Beziehung). Dank dieser gemeinsamen Struktur reicht die Theorie der harmonischen Schwingung weit über Federn und Pendel hinaus – bis zu Stimmgabelschwingungen, LC-Schwingungen in Wechselstromkreisen und sogar Modellen molekularer Bindungen.

Reale Federn und Pendel verlieren durch Reibung, Luftwiderstand und innere Materialdämpfung allmählich an Amplitude – ein Phänomen, das als gedämpfte Schwingung bezeichnet wird. Die idealisierte harmonische Schwingung, die dieses Werkzeug modelliert, geht von keinem Energieverlust aus. Die Messung der Pendelperiode zur Bestimmung der örtlichen Erdbeschleunigung g ist nach wie vor ein klassisches Experiment im Physikunterricht und bietet eine praktische Verbindung zwischen dieser Formel und realen Messungen.

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