Calculatrice de système d'équations – résoudre de 2 à 5 inconnues avec les étapes
Calculatrice de système d'équations : saisissez les coefficients d'un système linéaire de 2 à 5 inconnues et obtenez la solution exacte en fractions, avec chaque étape de la méthode de Gauss-Jordan. Détecte aussi les systèmes sans solution ou à infinité de solutions.
Exemple de calcul : résoudre un système à 2 inconnues par combinaison
C'est la forme que l'on rencontre souvent dans les problèmes du type « certains articles coûtent 10 et d'autres 20… ». Le principe de la méthode par combinaison consiste à multiplier une équation, à la soustraire de l'autre et à faire disparaître une variable ; les étapes affichées par cet outil suivent exactement la même idée.
| Équation ① | x + y = 10 |
|---|---|
| Équation ② | 2x + 4y = 26 |
| ② − ①×2 | 2y = 6 → y = 3 |
| Substitution dans ① | x + 3 = 10 → x = 7 |
| Solution | x = 7, y = 3 |
Qu'est-ce que la calculatrice de système d'équations ?
Un système d'équations consiste à trouver les valeurs des variables qui satisfont simultanément deux équations ou plus. Cette calculatrice résout les systèmes d'équations linéaires de deux inconnues (x et y) jusqu'à cinq inconnues (x, y, z, w et v) : il vous suffit de saisir les coefficients et les seconds membres. Le résultat est affiché exactement sous forme de fractions, sans arrondi décimal, et toutes les étapes intermédiaires (quelle équation a été multipliée par quel nombre puis soustraite de quelle autre, comme dans la méthode de Gauss-Jordan) sont détaillées. Vous pouvez ainsi vérifier une réponse obtenue à la main ou repérer précisément l'endroit où une erreur de calcul s'est glissée.
Un système d'équations linéaires se trouve toujours dans l'un de ces trois cas : « une solution unique », « aucune solution (incompatible) » ou « une infinité de solutions (indéterminé) ». Par exemple, x + y = 2 et 2x + 2y = 5 ont des premiers membres proportionnels mais des seconds membres qui ne concordent pas : il n'y a donc aucune solution. En revanche, x + y = 2 et 2x + 2y = 4 sont en fait la même équation, d'où une infinité de solutions. L'outil effectue ce diagnostic automatiquement et, dans le cas indéterminé, affiche la solution générale à l'aide de paramètres comme t. Il ne traite que les équations linéaires (sans carré de variable ni produit de variables) ; les systèmes contenant des termes comme x² ou xy ne sont pas pris en charge.
Comment utiliser la calculatrice de système d'équations
- Choisir le nombre d'inconnues Choisissez entre « 2 inconnues » et « 5 inconnues ». Le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues, et les variables sont utilisées dans l'ordre x, y, z, w, v.
- Mettre chaque équation sous la forme ax + by = c Faites passer les termes contenant des variables à gauche et les nombres seuls à droite. Par exemple, réécrivez 3x = 5 − 2y sous la forme 3x + 2y = 5 avant de la saisir.
- Saisir les coefficients et les seconds membres Pour un terme soustrait, utilisez un coefficient négatif (pour x − 2y, le coefficient de y est −2), et saisissez 0 pour toute variable absente. Les fractions se saisissent sous la forme 3/4 et les décimaux sous la forme 0.5.
- Contrôler la solution et la vérification Dès que tous les champs sont remplis, la solution s'affiche immédiatement. La valeur de chaque premier membre après substitution de la solution est également indiquée, ce qui permet de vérifier qu'elle correspond bien au second membre.
- Suivre les étapes du calcul La section « Étapes du calcul » ci-dessous présente chaque opération dans l'ordre (échange de lignes, multiplication d'une ligne, soustraction d'un multiple d'une autre ligne), accompagnée des coefficients obtenus juste après.
Astuces pour en tirer le meilleur parti
- Lorsque les coefficients contiennent des fractions, la saisie est plus simple si vous multipliez d'abord les deux membres par le plus petit commun multiple des dénominateurs pour n'obtenir que des entiers. Bien entendu, saisir directement des fractions comme 1/2 donne exactement la même solution.
- Les décimaux comme 0.1 sont traités en interne comme la fraction 1/10 : les erreurs d'arrondi propres aux nombres à virgule flottante ne peuvent donc jamais fausser le résultat.
- Les étapes progressent colonne par colonne, de gauche à droite, en ne laissant le coefficient de chaque colonne que dans une seule équation. L'ordre d'élimination des variables peut différer de celui d'un manuel scolaire, mais la solution finale est la même.
- Pour les problèmes à deux inconnues dont vous souhaitez voir le point d'intersection, tracez les deux droites avec le traceur de fonctions linéaires : vous constaterez visuellement que les coordonnées du point d'intersection sont bien la solution du système.
Quand la calculatrice de système d'équations est utile
Vérifier les devoirs et contrôles de mathématiques
Les systèmes d'équations sont un chapitre classique de l'algèbre au collège et au lycée. Comme les étapes sont affichées, vous pouvez retrouver à quel moment un coefficient a été mal calculé lorsque votre réponse ne correspond pas.
Résoudre des problèmes de quantités et de prix
Les problèmes du type « vous avez acheté au total 10 pommes et oranges pour 1 000 yens », où il faut retrouver la répartition à partir d'un nombre total et d'un montant total, se traduisent directement en équations et se résolvent aussitôt.
Résoudre des systèmes à trois inconnues ou plus
Les problèmes à trois inconnues ou plus, comme ceux d'algèbre linéaire au lycée et à l'université ou l'analyse de circuits électriques avec les lois de Kirchhoff, sont longs et propices aux erreurs à la main : cet outil est idéal pour vérifier vos calculs.
Déterminer des proportions de mélange
Lorsque vous voulez mélanger des solutions salées de concentrations différentes pour atteindre une concentration et une quantité cibles, un système d'équations permet de calculer combien de grammes de chaque solution utiliser.
Vérifier le problème des poules et des lapins par des équations
Le célèbre problème des têtes et des pattes avec des poules et des lapins (connu au Japon sous le nom de grues et tortues, tsurukame-zan) a exactement la même structure qu'un système à deux inconnues. La méthode par diagramme d'aires est présentée dans le calculateur du problème des poules et des lapins.
Lexique du système d'équations
- Système d'équations linéaires
- Ensemble de plusieurs équations linéaires par rapport aux variables (sans carré ni produit de variables). Un ensemble de valeurs qui satisfait toutes les équations à la fois s'appelle une solution.
- Nombre d'inconnues
- Le nombre de variables recherchées. Un système portant sur x et y comporte deux inconnues, et un système portant sur x, y et z en comporte trois.
- Méthode par combinaison
- Méthode qui consiste à multiplier les équations par des nombres adaptés puis à les additionner ou les soustraire pour éliminer une variable à la fois. C'est généralement la première méthode apprise, et elle constitue la base de la méthode de Gauss-Jordan.
- Méthode par substitution
- Méthode qui consiste à mettre une équation sous la forme « x = … » puis à la substituer dans l'autre équation pour réduire le nombre de variables. Elle est rapide lorsqu'une variable a pour coefficient 1.
- Méthode de Gauss-Jordan
- Méthode qui range les coefficients sous forme de matrice et répète l'échange de lignes, la multiplication par une constante et l'addition ou la soustraction de multiples d'autres lignes, jusqu'à ce que le coefficient de chaque colonne ne reste que dans une seule ligne. Les étapes de cet outil sont présentées selon cette méthode.
- Matrice augmentée
- La matrice des coefficients d'un système à laquelle on ajoute à droite une colonne contenant les seconds membres. Elle permet de suivre les transformations uniquement avec des nombres, sans réécrire les équations.
- Incompatible / indéterminé
- Un système est dit incompatible lorsqu'il n'a aucune solution, et indéterminé lorsqu'il admet une infinité de solutions sans qu'une solution unique puisse être déterminée.
- Rang
- Le nombre de lignes non nulles qui subsistent après la méthode de Gauss-Jordan. Si les rangs de la matrice des coefficients et de la matrice augmentée diffèrent, le système est incompatible ; s'ils sont égaux mais inférieurs au nombre d'inconnues, il est indéterminé.
Questions fréquentes
Anecdote — De la Chine d'il y a 2 000 ans à Seki Takakazu, puis à Gauss
La méthode qui consiste à résoudre des systèmes d'équations linéaires à partir du seul tableau des coefficients est connue depuis étonnamment longtemps. Le chapitre 8, « Fangcheng », du traité mathématique chinois Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (dont on estime qu'il a été achevé au plus tard vers le Ier siècle de notre ère) décrit comment disposer des baguettes à calculer en colonnes verticales sur une tablette et éliminer les inconnues en multipliant les colonnes puis en les soustrayant les unes des autres. C'est pratiquement la même idée que l'actuelle méthode de Gauss-Jordan, et le texte va jusqu'à énoncer des règles qui supposent l'apparition de nombres négatifs en cours de calcul.
Au Japon, le mathématicien de l'époque d'Edo Seki Takakazu, dans son ouvrage Kai Fukudai no Hō de 1683, a organisé les expressions qui apparaissent lors de l'élimination des variables et traité une notion correspondant à ce que l'on appelle aujourd'hui le déterminant. Son exposé contenait certes des erreurs à partir de l'ordre quatre, mais en Europe, Leibniz n'a consigné une idée semblable dans une lettre qu'en 1693 (certains font remonter ses brouillons à 1678 environ). Seki est donc parvenu à cette idée indépendamment de l'Europe, à peu près à la même époque, voire plus tôt.
Le nom « élimination de Gauss » vient de ce qu'au début du XIXe siècle, le mathématicien Gauss, en résolvant des systèmes issus de la méthode des moindres carrés, notamment pour calculer l'orbite de l'astéroïde Pallas, a imaginé sa propre notation pour organiser les étapes d'élimination, notation qui s'est ensuite répandue parmi les calculateurs professionnels. Gauss lui-même appelait toutefois cette méthode « élimination ordinaire » (eliminatio vulgaris), et il n'en était pas l'inventeur. En 1923, elle ne portait pas encore son nom ; cette appellation ne s'est imposée qu'au cours du XXe siècle.
Aujourd'hui, des systèmes de plusieurs milliers ou dizaines de milliers d'inconnues sont résolus quotidiennement par ordinateur, pour les prévisions météorologiques, le calcul de la résistance des structures, le traitement d'images et bien d'autres domaines. Pourtant, l'idée centrale – éliminer les variables une par une – n'a pas changé d'un iota depuis la méthode par combinaison apprise à l'école.