Calculatrice de vecteurs (produit scalaire, produit vectoriel, norme, vecteur unitaire, angle)

Saisissez deux vecteurs en 2D ou 3D pour calculer instantanément le produit scalaire, le produit vectoriel, la norme, les vecteurs unitaires et l'angle entre les deux vecteurs. Calculatrice de vecteurs gratuite.

Dernière mise à jour : 2026-09-15

Ce que fait cette calculatrice de vecteurs

Saisissez les composantes de deux vecteurs et cet outil restitue d'un coup le produit scalaire, le produit vectoriel, la norme de chaque vecteur, leurs vecteurs unitaires et l'angle qu'ils forment. Vous pouvez basculer entre deux et trois dimensions ; en deux dimensions le champ du produit vectoriel reste vide, car cette opération n'est définie qu'en trois dimensions. La quantité ax·by − ay·bx parfois présentée comme un « produit vectoriel 2D » est un scalaire : ce n'est que la composante z du produit vectoriel tridimensionnel, pas un vecteur.

Tout se ramène à des opérations sur les composantes, plus une racine carrée et un arc cosinus. Le produit scalaire vaut a·b = axbx + ayby + azbz, la norme √(x² + y² + z²), le vecteur unitaire s'obtient en divisant chaque composante par la norme, et l'angle découle de cos θ = a·b ÷ (|a||b|). Le vecteur nul n'a pas de direction : ni vecteur unitaire ni angle ne peuvent en être tirés, et l'outil le signale comme une erreur plutôt que de renvoyer un nombre trompeur.

Comment utiliser la calculatrice de vecteurs

Choisissez la dimension Décidez d'abord entre 2D et 3D. En choisissant la 3D, le champ de la composante z apparaît et le produit vectoriel est calculé.
Saisissez les composantes de a et b Renseignez x et y (ainsi que z en trois dimensions). Les valeurs négatives et décimales sont acceptées telles quelles.
Lisez les résultats Produit scalaire, produit vectoriel, normes, vecteurs unitaires et angle s'affichent ensemble. En 2D, le champ du produit vectoriel rappelle que l'opération demande trois dimensions.
Vérifiez les directions sur le schéma En deux dimensions les vecteurs sont tracés, ce qui rend les rapports de direction et d'angle bien plus faciles à juger que des chiffres seuls.

Astuces pour en tirer le meilleur parti

Basculez entre 2D et 3D avec les onglets ci-dessus. En choisissant 3D, les champs de la composante z et le résultat du produit vectoriel apparaissent.
Lorsque le produit scalaire vaut 0, les deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Une valeur positive indique un angle aigu entre eux ; une valeur négative indique un angle obtus.
Le vecteur résultant du produit vectoriel pointe dans une direction perpendiculaire aux deux vecteurs saisis, selon la règle de la main droite.
Un vecteur unitaire est le vecteur d'origine divisé par sa norme : il a une longueur exactement égale à 1 et ne représente que la direction. Utilisez-le lorsque seule la direction compte, pas la norme.
Saisir un vecteur nul (toutes les composantes égales à 0) rend la norme égale à 0, si bien que le vecteur unitaire et l'angle ne peuvent pas être calculés pour lui.

Quand le calcul vectoriel intervient

Vérifier exercices et entraînement aux examens

Un signe oublié ou une division mal placée change le résultat d'un produit scalaire ou d'un angle. La confrontation à la machine le révèle en quelques secondes.

Calculs de coordonnées en 3D et dans le jeu vidéo

Les normales de surface viennent du produit vectoriel, le rapport entre direction de vue et face du produit scalaire. Essayer les valeurs ici va plus vite que de déboguer le shader.

Décomposer des forces et calculer un travail en physique

Le travail est le produit scalaire de la force et du déplacement, le moment le produit vectoriel du vecteur position par la force. Les vecteurs unitaires servent quand seule la direction compte.

Mesurer à quel point deux directions concordent

Le produit scalaire de deux vecteurs unitaires vaut exactement cos θ. La similarité cosinus employée en apprentissage automatique est ce même calcul sous un autre nom.

Le vocabulaire du calcul vectoriel

Produit scalaire: La somme des produits des composantes correspondantes. Le résultat est un scalaire et, puisque a·b = |a||b|cos θ, une valeur nulle signifie que les vecteurs sont perpendiculaires.
Produit vectoriel: Opération définie uniquement en trois dimensions dont le résultat est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs de départ. Sa norme vaut l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent et son sens suit la règle de la main droite.
Norme: La longueur d'un vecteur, donnée par √(x² + y² + z²). C'est le théorème de Pythagore porté en trois dimensions.
Vecteur unitaire: Vecteur ramené à la longueur 1, utile quand on veut garder la direction et abandonner la taille. On l'obtient en divisant chaque composante par la norme.
Angle entre vecteurs: L'angle séparant deux vecteurs, toujours compris entre 0° et 180°. Il s'obtient en divisant le produit scalaire par le produit des normes puis en prenant l'arc cosinus.
Vecteur nul: Celui dont toutes les composantes valent zéro. Sa longueur est nulle et il n'a pas de direction : ni vecteur unitaire ni angle ne sont définis pour lui.

Questions fréquentes

Le produit scalaire prend deux vecteurs et produit un seul nombre (un scalaire), couramment utilisé pour mesurer une similarité ou trouver l'angle entre des vecteurs. Le produit vectoriel prend deux vecteurs et produit un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux, et n'est défini qu'en trois dimensions.

Un espace à trois dimensions est le seul dans lequel une direction perpendiculaire à deux vecteurs donnés peut être déterminée de façon unique. En 2D, aucune direction perpendiculaire cohérente ne peut être choisie, et en 4D ou plus, il en existe une infinité ; le produit vectoriel général n'est donc naturellement défini qu'en 3D.

En utilisant la formule cosθ = (a·b) / (|a||b|). Diviser le produit scalaire par le produit des deux normes donne cosθ, et calculer son arc cosinus (arccos) donne l'angle θ, en degrés ou en radians.

Un vecteur unitaire pointe dans la même direction que le vecteur d'origine, mais possède une norme (longueur) exactement égale à 1. On l'obtient en divisant un vecteur par sa norme ; il est couramment utilisé pour les vecteurs normaux de surface en infographie, ou chaque fois que seule la direction compte, pas la norme.

Calculez le produit scalaire : s'il est égal à 0, les deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Cet outil calcule automatiquement le produit scalaire de vos vecteurs saisis, il suffit donc de vérifier si cette valeur est 0.

Anecdote — Les vecteurs sont nés des quaternions de Hamilton

La notation vectorielle que nous utilisons aujourd'hui remonte aux « quaternions », un système inventé par le mathématicien irlandais du XIXe siècle William Rowan Hamilton pour représenter les rotations dans l'espace à trois dimensions. Un quaternion se compose de quatre nombres, et ce sont les trois composantes de sa « partie imaginaire » qui sont finalement devenues le prototype du vecteur moderne.

Ce sont le physicien américain Josiah Willard Gibbs et l'ingénieur britannique Oliver Heaviside qui ont séparé les vecteurs des quaternions et les ont organisés en produit scalaire et produit vectoriel tels que nous les utilisons aujourd'hui. Travaillant indépendamment à la fin du XIXe siècle, ils ont éliminé les parties de l'algèbre des quaternions qui n'étaient pas nécessaires à la physique — en particulier à l'électromagnétisme — et ont bâti le cadre de l'analyse vectorielle encore enseigné aujourd'hui.

Le produit vectoriel n'est généralement défini que pour les vecteurs 3D, car un espace à trois dimensions est le seul dans lequel une direction perpendiculaire à deux vecteurs donnés peut être déterminée de façon unique. Grâce à cette propriété, le produit vectoriel intervient constamment en physique — dans le couple et le moment cinétique — ainsi qu'en infographie, où il sert à calculer le vecteur normal d'une surface.

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