Calcolatrice sistemi di equazioni ― risolve sistemi lineari da 2 a 5 incognite con i passaggi
Calcolatrice sistemi di equazioni lineari da 2 a 5 incognite: soluzione esatta in frazioni con i passaggi di Gauss-Jordan e riconoscimento dei sistemi impossibili.
Esempio: risolvere un sistema di 2 equazioni con il metodo di riduzione
È la forma tipica dei problemi del tipo «alcuni costano 10 e altri costano 20…». L'idea di base del metodo di riduzione è moltiplicare un'equazione per un numero e sottrarla dall'altra per eliminare un'incognita; anche il procedimento di questo strumento segue la stessa logica.
| Equazione ① | x + y = 10 |
|---|---|
| Equazione ② | 2x + 4y = 26 |
| ② − ①×2 | 2y = 6 → y = 3 |
| Sostituire in ① | x + 3 = 10 → x = 7 |
| Soluzione | x = 7, y = 3 |
Che cos'è la calcolatrice di sistemi di equazioni
Un sistema di equazioni chiede di trovare i valori delle incognite che soddisfano due o più equazioni nello stesso tempo. Questa calcolatrice risolve sistemi di equazioni lineari da 2 incognite (x, y) fino a 5 incognite (x, y, z, w, v): basta inserire i coefficienti e i termini noti. Il risultato viene mostrato come frazione esatta, senza arrotondamenti decimali, e vengono elencati tutti i passaggi intermedi (ogni fase del metodo di Gauss-Jordan, indicando quale equazione è stata moltiplicata per quanto e sottratta). In questo modo può controllare una soluzione svolta a mano oppure individuare il punto in cui ha commesso un errore di calcolo.
La soluzione di un sistema di equazioni lineari rientra sempre in uno di tre casi: «una sola soluzione», «nessuna soluzione (sistema impossibile)» oppure «infinite soluzioni (sistema indeterminato)». Ad esempio, x + y = 2 e 2x + 2y = 5 hanno i primi membri proporzionali ma i termini noti non corrispondono, quindi non c'è soluzione; invece x + y = 2 e 2x + 2y = 4 sono in pratica la stessa equazione, perciò le soluzioni sono infinite. Lo strumento esegue questa classificazione automaticamente e, nel caso indeterminato, mostra la soluzione generale con parametri come t. Gestisce soltanto equazioni di primo grado (senza quadrati delle variabili né prodotti fra variabili) e non risolve sistemi che contengono x² o xy.
Come usare la calcolatrice di sistemi di equazioni
- Scelga il numero di incognite Selezioni da 2 a 5 incognite. Il numero di equazioni coincide con quello delle incognite e le variabili vengono usate nell'ordine x, y, z, w, v.
- Scriva ogni equazione nella forma ax + by = c Porti i termini con le incognite al primo membro e i numeri al secondo. Ad esempio, 3x = 5 − 2y va riscritta come 3x + 2y = 5 prima di inserirla.
- Inserisca i coefficienti e i termini noti I termini sottratti hanno coefficiente negativo (in x − 2y il coefficiente di y è −2) e alle variabili assenti si assegna 0. Le frazioni si scrivono come 3/4 e i decimali come 0.5.
- Controlli la soluzione e la verifica Appena tutti i campi sono compilati, la soluzione compare subito. Viene mostrato anche il valore del primo membro sostituendo la soluzione in ciascuna equazione originale, così può controllare che coincida con il termine noto.
- Segua il procedimento Nella sezione «Procedimento» compaiono in ordine i singoli passaggi (scambio di righe, moltiplicazione per un numero, sottrazione di un multiplo di un'altra riga) insieme alla disposizione dei coefficienti subito dopo ogni passaggio.
Consigli per sfruttarlo al meglio
- Se il problema ha coefficienti frazionari, è più comodo moltiplicare prima entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori, così da lavorare con numeri interi. Ad ogni modo, inserendo direttamente frazioni come 1/2 si ottiene la stessa soluzione.
- I decimali come 0.1 vengono trattati internamente come la frazione 1/10, quindi la risposta non viene mai falsata da errori di arrotondamento in virgola mobile.
- Il procedimento avanza «da sinistra verso destra, lasciando il coefficiente di ogni colonna in una sola equazione». L'ordine di eliminazione può essere diverso da quello del metodo di riduzione dei libri di testo, ma la soluzione finale è la stessa.
- Nei problemi a 2 incognite in cui desidera vedere il punto di intersezione, tracci le due rette con il grafico della funzione lineare: potrà verificare a colpo d'occhio che le coordinate del punto d'incontro sono la soluzione del sistema.
Quando è utile la calcolatrice di sistemi di equazioni
Correggere compiti e verifiche di matematica
I sistemi di equazioni sono un argomento fondamentale dell'algebra scolastica. Poiché vengono mostrati i passaggi intermedi, quando il risultato non torna si può scoprire in quale fase si è sbagliato un coefficiente.
Risolvere problemi di quantità e prezzi
Problemi come «ho comprato in tutto 10 mele e mandarini e ho speso 10 euro», in cui bisogna ricavare la suddivisione dal numero totale di pezzi e dalla spesa complessiva, si possono impostare direttamente come equazioni e risolvere.
Risolvere sistemi con 3 o più incognite
Nell'algebra lineare delle superiori o dell'università, o nei circuiti elettrici con le leggi di Kirchhoff, compaiono problemi con 3 o più incognite che a mano richiedono molto lavoro e portano facilmente a errori; lo strumento è ideale per verificarli.
Calcolare le proporzioni di una miscela
Se desidera mescolare soluzioni saline di concentrazione diversa per ottenere una quantità e una concentrazione prestabilite, può impostare un sistema di equazioni per sapere quanti grammi di ciascuna usare.
Verificare con le equazioni il problema di polli e conigli
Il classico problema di polli e conigli (teste e zampe) ha esattamente la stessa struttura di un sistema di 2 equazioni. La risoluzione con il diagramma delle aree si trova nel calcolatore del problema di polli e conigli.
Glossario dei sistemi di equazioni
- Sistema di equazioni lineari
- Insieme di più equazioni di primo grado nelle incognite (senza quadrati né prodotti fra incognite). L'insieme dei valori che soddisfa tutte le equazioni contemporaneamente si chiama soluzione.
- Numero di incognite
- Quantità di valori sconosciuti da determinare. Se si cercano x e y si parla di sistema a 2 incognite; se si cercano x, y e z, di sistema a 3 incognite.
- Metodo di riduzione
- Metodo che consiste nel moltiplicare le equazioni per un numero e poi sommarle o sottrarle per eliminare un'incognita. È uno dei primi metodi che si imparano a scuola e costituisce la base del metodo di Gauss-Jordan.
- Metodo di sostituzione
- Metodo che consiste nel ricavare un'incognita da un'equazione («x = …») e sostituirla nell'altra per ridurre il numero di incognite. È rapido quando un'incognita ha coefficiente 1.
- Metodo di Gauss-Jordan
- Metodo che dispone i coefficienti sotto forma di matrice e ripete scambi di righe, moltiplicazioni per costanti e somme o sottrazioni di multipli di altre righe, finché il coefficiente di ogni colonna resta in una sola riga. Il procedimento di questo strumento è mostrato con questo metodo.
- Matrice completa
- Matrice dei coefficienti del sistema a cui si aggiunge, a destra, una colonna con i termini noti. Permette di seguire le trasformazioni usando solo i numeri, senza scrivere le equazioni.
- Sistema impossibile / indeterminato
- Un sistema è impossibile quando non ha nessuna soluzione, e indeterminato quando ha infinite soluzioni e non se ne può determinare una sola.
- Rango
- Numero di righe non nulle che restano dopo aver applicato il metodo di Gauss-Jordan. Se il rango della matrice dei coefficienti e quello della matrice completa sono diversi, il sistema è impossibile; se coincidono ma sono minori del numero di incognite, è indeterminato.
Domande frequenti
Curiosità — Dalla Cina di 2000 anni fa a Seki Takakazu e a Gauss
Il metodo per risolvere i sistemi di equazioni lineari usando soltanto la disposizione dei coefficienti è noto da tempi sorprendentemente antichi. Il testo matematico cinese «I nove capitoli sull'arte matematica» (che si ritiene completato entro il I secolo d.C.) descrive nel capitolo 8, «Fangcheng», un procedimento in cui si dispongono bastoncini di calcolo in colonne su una tavola e si eliminano le incognite moltiplicando le colonne per un numero e sottraendole fra loro. È praticamente la stessa idea dell'attuale metodo di Gauss-Jordan, e il testo riportava persino regole che davano per scontata la comparsa di numeri negativi durante il calcolo.
In Giappone, il matematico del periodo Edo Seki Takakazu, nella sua opera «Kaifukudai no hō» del 1683, riordinò le espressioni che emergono eliminando le incognite dalle equazioni e trattò un concetto corrispondente a quello che oggi chiamiamo determinante. Pur contenendo errori per i casi di ordine 4 o superiore, in Europa Leibniz annotò un'idea simile in una lettera solo nel 1693 (c'è chi colloca la sua bozza intorno al 1678): Seki arrivò quindi a questa idea in modo indipendente dall'Europa, più o meno nello stesso periodo o addirittura prima.
Il nome «eliminazione gaussiana» deriva dal fatto che il matematico Gauss, all'inizio del XIX secolo, risolvendo i sistemi di equazioni del metodo dei minimi quadrati in calcoli come l'orbita dell'asteroide Pallade, ideò una notazione propria per ordinare il procedimento di eliminazione, che poi si diffuse fra gli specialisti del calcolo. Tuttavia Gauss stesso chiamava questo metodo «eliminazione comune» (eliminatio vulgaris) e non ne fu l'inventore. Nel 1923 il metodo non veniva ancora chiamato con il nome di Gauss; questa denominazione si è affermata solo nel corso del Novecento.
Oggi i computer risolvono quotidianamente sistemi con migliaia o decine di migliaia di incognite nelle previsioni meteorologiche, nel calcolo della resistenza delle strutture e nell'elaborazione delle immagini. Eppure l'idea centrale di «eliminare le incognite una alla volta» non è cambiata affatto rispetto al metodo di riduzione che si impara a scuola.