Calculadora de sistema de equações ― resolva de 2 a 5 incógnitas passo a passo
Calculadora de sistema de equações lineares de 2 a 5 incógnitas: solução exata em frações, passo a passo por Gauss-Jordan, e detecção de sistemas impossíveis.
Exemplo: resolver um sistema de 2 equações pelo método da adição
É o formato típico dos problemas do tipo “uns custam 10 e outros custam 20…”. A ideia básica do método da adição é multiplicar uma equação por algum número e subtraí-la da outra para eliminar uma incógnita; o processo de cálculo desta ferramenta segue a mesma lógica.
| Equação ① | x + y = 10 |
|---|---|
| Equação ② | 2x + 4y = 26 |
| ② − ①×2 | 2y = 6 → y = 3 |
| Substituir em ① | x + 3 = 10 → x = 7 |
| Solução | x = 7, y = 3 |
O que é a calculadora de sistema de equações
Um sistema de equações consiste em encontrar os valores das incógnitas que satisfazem duas ou mais equações ao mesmo tempo. Esta calculadora resolve sistemas de equações lineares de 2 incógnitas (x, y) até 5 incógnitas (x, y, z, w, v): basta digitar os coeficientes e os termos independentes. O resultado é exibido como fração exata, sem arredondar para decimais, e todos os passos intermediários são mostrados (cada etapa do método de Gauss-Jordan, indicando qual equação foi multiplicada por quanto e subtraída). Assim você pode conferir uma resolução feita à mão ou descobrir em que ponto errou a conta.
A solução de um sistema de equações lineares sempre se encaixa em um de três casos: “uma única solução”, “nenhuma solução (sistema impossível)” ou “infinitas soluções (sistema possível e indeterminado)”. Por exemplo, x + y = 2 e 2x + 2y = 5 têm os primeiros membros proporcionais, mas os termos independentes não batem, então não há solução; já x + y = 2 e 2x + 2y = 4 são, na prática, a mesma equação, por isso há infinitas soluções. A ferramenta faz essa classificação automaticamente e, no caso indeterminado, mostra a solução geral com parâmetros como t. Ela trabalha apenas com equações do primeiro grau (sem quadrados das variáveis nem produtos entre elas) e não resolve sistemas que contenham x² ou xy.
Como usar a calculadora de sistema de equações
- Escolha o número de incógnitas Selecione de 2 a 5 incógnitas. O número de equações será igual ao de incógnitas, e as variáveis são usadas na ordem x, y, z, w, v.
- Escreva cada equação na forma ax + by = c Passe os termos com incógnitas para o primeiro membro e os números para o segundo. Por exemplo, 3x = 5 − 2y deve ser reescrita como 3x + 2y = 5 antes de ser digitada.
- Digite os coeficientes e os termos independentes Termos subtraídos recebem coeficiente negativo (em x − 2y, o coeficiente de y é −2), e variáveis ausentes recebem 0. Frações são digitadas como 3/4 e decimais como 0.5.
- Confira a solução e a verificação Assim que todos os campos estiverem preenchidos, a solução aparece na hora. Também é mostrado o valor do primeiro membro ao substituir a solução em cada equação original, para que você confirme se coincide com o termo independente.
- Acompanhe o processo de cálculo Na seção “Processo de cálculo” aparecem, em ordem, cada passo (troca de linhas, multiplicação por um número, subtração de um múltiplo de outra linha) junto com a disposição dos coeficientes logo após cada passo.
Dicas para aproveitar melhor
- Se o problema tiver coeficientes fracionários, é mais prático multiplicar antes os dois membros pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores para trabalhar com inteiros. Mesmo assim, se você digitar frações como 1/2 diretamente, obterá a mesma solução.
- Decimais como 0.1 são tratados internamente como a fração 1/10, de modo que a resposta nunca se desvia por erros de arredondamento de ponto flutuante.
- O processo de cálculo avança “da esquerda para a direita, deixando o coeficiente de cada coluna em uma única equação”. A ordem de eliminação pode ser diferente do método da adição dos livros didáticos, mas a solução final é a mesma.
- Em problemas de 2 incógnitas em que você queira ver o ponto de interseção, desenhe as duas retas no gráfico de função linear: você verá que as coordenadas do ponto de encontro são a solução do sistema.
Quando a calculadora de sistema de equações é útil
Corrigir lições de casa e provas de matemática
Sistemas de equações são um conteúdo básico da álgebra escolar. Como os passos intermediários são exibidos, quando a resposta não bate você consegue descobrir em que etapa errou algum coeficiente.
Resolver problemas de quantidades e preços
Problemas como “comprei ao todo 10 maçãs e tangerinas e paguei R$ 10” — em que é preciso descobrir a divisão a partir do total de unidades e do valor total — podem ser montados diretamente como equações e resolvidos.
Resolver sistemas com 3 ou mais incógnitas
Em álgebra linear do ensino médio ou da faculdade, ou em circuitos elétricos com as leis de Kirchhoff, surgem problemas com 3 ou mais incógnitas que dão trabalho e geram erros na conta à mão; a ferramenta é ideal para conferi-los.
Calcular proporções de misturas
Se você quer misturar soluções salinas de concentrações diferentes para obter uma quantidade e uma concentração desejadas, pode montar um sistema de equações para saber quantos gramas de cada uma usar.
Conferir com equações o problema das galinhas e coelhos
O clássico problema das galinhas e coelhos (cabeças e patas) tem exatamente a mesma estrutura de um sistema de 2 equações. A resolução com diagrama de áreas pode ser vista na calculadora do problema das galinhas e coelhos.
Glossário de sistema de equações
- Sistema de equações lineares
- Conjunto de várias equações do primeiro grau nas incógnitas (sem quadrados nem produtos entre incógnitas). O conjunto de valores que satisfaz todas as equações ao mesmo tempo é chamado de solução.
- Número de incógnitas
- Quantidade de valores desconhecidos a determinar. Quando se procuram x e y, é um sistema de 2 incógnitas; quando se procuram x, y e z, é um sistema de 3 incógnitas.
- Método da adição
- Método que consiste em multiplicar as equações por algum número e somá-las ou subtraí-las para eliminar uma incógnita. É um dos primeiros métodos aprendidos na escola e serve de base para o método de Gauss-Jordan.
- Método da substituição
- Método que consiste em isolar uma incógnita em uma equação (“x = …”) e substituí-la na outra para reduzir o número de incógnitas. É rápido quando alguma incógnita tem coeficiente 1.
- Método de Gauss-Jordan
- Método que dispõe os coeficientes em forma de matriz e repete trocas de linhas, multiplicações por constantes e somas ou subtrações de múltiplos de outras linhas, até que o coeficiente de cada coluna fique em uma única linha. O processo de cálculo desta ferramenta é exibido com esse método.
- Matriz aumentada
- Matriz dos coeficientes do sistema à qual se acrescenta, à direita, uma coluna com os termos independentes. Permite acompanhar as transformações apenas com números, sem escrever as equações.
- Sistema impossível / possível e indeterminado
- Um sistema é impossível quando não tem nenhuma solução, e possível e indeterminado quando tem infinitas soluções e não é possível determinar uma única.
- Posto (característica)
- Número de linhas não nulas que restam após aplicar o método de Gauss-Jordan. Se o posto da matriz dos coeficientes e o da matriz aumentada forem diferentes, o sistema é impossível; se forem iguais, mas menores que o número de incógnitas, é possível e indeterminado.
Perguntas frequentes
Curiosidade — Da China de 2000 anos atrás a Seki Takakazu e a Gauss
O método de resolver sistemas de equações lineares usando apenas a disposição dos coeficientes é conhecido há muito, muito tempo. O livro de matemática chinês “Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática” (que se considera ter sido concluído por volta do século I d.C.) descreve em seu capítulo 8, “Fangcheng”, um procedimento em que varetas de cálculo são dispostas em colunas sobre um tabuleiro e as incógnitas são eliminadas multiplicando colunas por um número e subtraindo-as entre si. É praticamente a mesma ideia do atual método de Gauss-Jordan, e o texto chegava a trazer regras que pressupunham o aparecimento de números negativos durante a conta.
No Japão, o matemático do período Edo Seki Takakazu, em sua obra “Kaifukudai no hō”, de 1683, organizou as expressões que surgem ao eliminar incógnitas das equações e trabalhou com um conceito equivalente ao que hoje chamamos de determinante. Embora contivesse erros para os casos de ordem 4 ou superior, na Europa Leibniz só registrou uma ideia semelhante em uma carta em 1693 (há quem situe seu rascunho por volta de 1678), o que significa que Seki chegou a essa ideia de forma independente da Europa, mais ou menos na mesma época ou até antes.
O nome “eliminação gaussiana” vem do fato de que o matemático Gauss, no início do século XIX, ao resolver os sistemas de equações do método dos mínimos quadrados em cálculos como a órbita do asteroide Palas, criou uma notação própria para organizar o procedimento de eliminação, que depois se espalhou entre os especialistas em cálculo. No entanto, o próprio Gauss chamava esse método de “eliminação comum” (eliminatio vulgaris), e ele não foi o seu inventor. Em 1923 o método ainda não era chamado pelo nome de Gauss; essa denominação só se firmou já no século XX.
Hoje, computadores resolvem diariamente sistemas com milhares ou dezenas de milhares de incógnitas na previsão do tempo, no cálculo da resistência de estruturas e no processamento de imagens. Ainda assim, a ideia central de “eliminar as incógnitas uma a uma” não mudou nada em relação ao método da adição que aprendemos na escola.