聯立方程式計算機 ― 附計算過程，求解二元至五元聯立方程式
聯立方程式計算機，線上解聯立方程式。只要輸入二元、三元乃至五元聯立一次方程式的係數，就能附上高斯-喬登消去法（加減消去法）的計算過程，以分數形式精確求解。也能判定無解與無限多解、顯示一般解並進行驗算。
計算範例：用加減消去法解二元一次聯立方程式
這是「每個 10 元和每個 20 元的……」這類應用題常見的形式。把其中一式乘以若干倍後相減、消去一個未知數，就是加減消去法的基本做法，本工具的計算過程也依照同樣的想法進行。
| 式① | x + y = 10 |
|---|---|
| 式② | 2x + 4y = 26 |
| ② − ①×2 | 2y = 6 → y = 3 |
| 代入① | x + 3 = 10 → x = 7 |
| 解 | x = 7, y = 3 |
什麼是聯立方程式計算機
聯立方程式是求出能同時滿足兩個以上方程式的未知數值的問題。這台計算機可以求解從 x、y 二元到 x、y、z、w、v 五元的聯立一次方程式，只要輸入係數與右邊的常數就能得到解。結果不會四捨五入成小數，而是以分數形式精確顯示；同時列出把哪一式乘以幾倍再相減的所有步驟（高斯-喬登消去法的每一步），方便您核對手算的答案，或找出是在哪一步算錯。
聯立一次方程式的解只有三種情形：「恰有一組解」「無解」「有無限多組解」。例如 x + y = 2 與 2x + 2y = 5 的左邊成比例，右邊卻不相符，因此無解；x + y = 2 與 2x + 2y = 4 實際上是同一個式子，因此有無限多組解。本工具會自動做出判定，有無限多組解時還會用 t 等文字列出一般解。本工具只能處理一次式（不含未知數的平方或未知數之間的乘積），不支援含有 x² 或 xy 的聯立方程式。
聯立方程式計算機的使用方法
- 選擇未知數個數 從「2元」到「5元」中選擇。式子的數量與未知數個數相同，未知數依序使用 x、y、z、w、v。
- 把式子整理成 ax + by = c 的形式 透過移項把含未知數的項放在左邊、常數項放在右邊。例如 3x = 5 − 2y 要先改寫成 3x + 2y = 5 再輸入。
- 輸入係數與右邊的常數 減號後面的項請把係數寫成負數（x − 2y 中 y 的係數是 −2），沒有出現的未知數係數請填 0。分數可以輸入 3/4，小數可以輸入 0.5。
- 確認解與驗算結果 所有欄位填好後，解會立刻顯示。同時也會列出把解代回原式後左邊的值，可以確認是否與右邊一致。
- 查看計算過程 下方的「計算過程」會依序列出交換列、乘以幾倍、乘以幾倍後相減等每個步驟，以及每一步之後的係數排列。
用好本工具的小技巧
- 係數中出現分數的題目，可以先在等號兩邊同乘分母的最小公倍數化成整數，輸入會比較輕鬆。當然，直接輸入 1/2 這樣的分數也會得到相同的解。
- 0.1 這樣的小數在內部也會當作 1/10 這個分數處理，因此答案不會因為浮點數的捨入誤差而產生偏差。
- 計算過程依照「從左邊的行開始，依序讓該行的係數只留在一個式子中」的順序進行。消去的順序可能和課本上的加減消去法不同，但最後的解是相同的。
- 想用圖形確認交點的二元問題，可以在一次函數圖形中畫出兩條直線，直接看到交點座標正是聯立方程式的解。
聯立方程式計算機的應用情境
核對國中數學作業與考試的答案
二元一次聯立方程式是國中數學的重要單元。因為會顯示計算過程，答案對不上時可以找出是在哪個步驟把係數算錯。
解個數與金額的應用題
像「蘋果和橘子一共買了 10 個，總共花了 1,000 日圓」這樣，由總個數與總金額求出各自數量的問題，可以直接列成聯立方程式求解。
求解三元以上的聯立方程式
高中、大學的線性代數，以及電路中的克希荷夫定律等未知數在三個以上的問題，手算既費時又容易出錯，很適合用來驗算。
求出混合與調配的比例
想把濃度不同的食鹽水混合成目標濃度與分量時，各需要幾公克，可以列成聯立方程式求出。
用方程式驗證雞兔同籠的想法
算術中的雞兔同籠問題與二元一次聯立方程式的結構相同。面積圖的解法可以在雞兔同籠計算器中查看。
聯立方程式相關用語
- 聯立一次方程式
- 由多個關於未知數的一次方程式（不含平方或未知數之間的乘積）組成的方程組。能同時滿足所有式子的一組未知數的值稱為解。
- 元
- 指未知數的個數。求 x 與 y 兩個未知數的稱為二元聯立方程式，求 x、y、z 三個未知數的稱為三元聯立方程式。
- 加減消去法
- 把式子乘以若干倍後相加或相減，消去一個未知數再求解的方法。這是國中最先學到的解法，也是高斯-喬登消去法的基礎。
- 代入消去法
- 把其中一式變形成「x = …」的形式，再代入另一式以減少未知數的方法。當某個未知數的係數為 1 時，用它解題會很快。
- 高斯-喬登消去法
- 把係數排成矩陣，反覆進行交換列、乘以常數、加減其他列的常數倍等操作，讓每一行的係數只留在一列中的解法。本工具的計算過程就是以這種方法顯示。
- 增廣矩陣
- 在聯立方程式的係數矩陣右側，再加上一行右邊常數所得到的矩陣。不必寫出式子，只用數字就能追蹤變形的過程。
- 無解與無限多解
- 連一組解都不存在的情形稱為無解（方程式矛盾）；解有無限多組、無法確定為唯一一組的情形稱為有無限多解。
- 秩
- 經高斯-喬登消去法變形後所剩下的非零列的個數。係數矩陣與增廣矩陣的秩不相等時無解；相等但小於未知數個數時有無限多解。
常見問題
閒話 ― 從兩千年前的中國到關孝和，再到高斯
只用係數的排列來解聯立一次方程式的方法，早在很久以前就已經為人所知。中國數學典籍《九章算術》（一般認為成書不晚於西元 1 世紀前後）第八章「方程」中，記載了把算籌直向排列在算板上，讓各行互相乘以若干倍後相減，藉此逐一消去未知數的步驟。這與今天的高斯-喬登消去法幾乎是同一種想法，書中甚至還寫有以計算途中出現負數為前提的運算規則。
在日本，江戶時代的和算家關孝和在 1683 年的著作《解伏題之法》中，整理了從方程式中消去未知數時出現的式子，處理了相當於今天行列式的概念。雖然四階以上的情形含有錯誤，但歐洲的萊布尼茲在書信中寫下類似想法是在 1693 年（也有看法認為其草稿約寫於 1678 年），可見關孝和是獨立於歐洲，在幾乎同一時期甚至更早就得出了這個想法。
「高斯消去法」這個名稱，源自數學家高斯在 19 世紀初計算小行星智神星（帕拉斯）的軌道等工作中，求解最小平方法的聯立方程式時，設計了一套整理消去步驟的獨特記法，後來在從事計算工作的專家之間流傳開來。不過，高斯本人把這種方法稱為「普通的消去法（eliminatio vulgaris）」，他並不是發明者。直到 1923 年這種方法仍未以高斯命名，這個名稱是進入 20 世紀之後才逐漸固定下來的。
如今，擁有數千、數萬個未知數的聯立方程式，每天都在天氣預報、建築結構強度計算、影像處理等領域由電腦求解。不過，其核心「逐一消去未知數」的想法，與國中所學的加減消去法一點也沒有改變。