연립방정식 계산기 ― 풀이 과정과 함께 2~5원 연립방정식 풀기
연립방정식 계산기입니다. 2원·3원부터 5원까지의 연립일차방정식 계수만 입력하면 가우스-조르당 소거법(가감법)의 풀이 과정과 함께 해를 분수 그대로 정확하게 구합니다. 해가 없거나 무수히 많은 경우의 판정, 일반해 표시, 검산도 지원합니다.
계산 예: 가감법으로 이원일차 연립방정식 풀기
‘한 개에 10원짜리와 20원짜리를…’ 같은 문장제에서 자주 나오는 꼴입니다. 한쪽 식을 몇 배 해서 빼고 한 문자를 없애는 것이 가감법의 기본이며, 이 도구의 풀이 과정도 같은 생각으로 진행됩니다.
| 식 ① | x + y = 10 |
|---|---|
| 식 ② | 2x + 4y = 26 |
| ② − ①×2 | 2y = 6 → y = 3 |
| ①에 대입 | x + 3 = 10 → x = 7 |
| 해 | x = 7, y = 3 |
연립방정식 계산기란
연립방정식은 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족하는 문자의 값을 구하는 문제입니다. 이 계산기는 x·y의 2원부터 x·y·z·w·v의 5원까지의 연립일차방정식에 대해, 계수와 우변만 입력하면 해를 구해 드립니다. 결과는 소수로 반올림하지 않고 분수 그대로 정확하게 표시하며, 어느 식을 몇 배 해서 뺐는지라는 풀이 과정(가우스-조르당 소거법의 각 단계)도 모두 나열하므로, 손으로 푼 답을 확인하거나 어디에서 계산을 틀렸는지 찾는 데 활용할 수 있습니다.
연립일차방정식의 해는 ‘하나로 정해진다’, ‘해가 없다(불능)’, ‘해가 무수히 많다(부정)’ 세 가지 중 하나가 됩니다. 예를 들어 x + y = 2와 2x + 2y = 5는 좌변이 비례하는데 우변이 맞지 않으므로 해가 없고, x + y = 2와 2x + 2y = 4는 사실상 같은 식이므로 해가 무수히 많습니다. 이 도구는 이러한 판정도 자동으로 하며, 부정인 경우에는 t 같은 문자를 사용한 일반해를 보여 드립니다. 다룰 수 있는 것은 일차식(문자의 제곱이나 문자끼리의 곱을 포함하지 않는 식)뿐이며, x²이나 xy를 포함한 연립방정식에는 대응하지 않습니다.
연립방정식 계산기 사용 방법
- 미지수의 개수를 고릅니다 ‘2원’부터 ‘5원’ 가운데에서 고릅니다. 식의 개수는 미지수의 개수와 같아지며, 미지수는 x, y, z, w, v 순서로 사용합니다.
- 식을 ax + by = c 꼴로 정리합니다 이항해서 문자가 있는 항은 좌변에, 수만 있는 항은 우변에 모읍니다. 예를 들어 3x = 5 − 2y는 3x + 2y = 5로 고쳐 쓴 다음 입력합니다.
- 계수와 우변을 입력합니다 빼기로 연결된 항은 계수를 음수로 넣고(x − 2y라면 y의 계수는 −2), 항이 없는 미지수의 계수에는 0을 넣습니다. 분수는 3/4, 소수는 0.5처럼 입력할 수 있습니다.
- 해와 검산 결과를 확인합니다 모든 칸을 채우면 그 자리에서 해가 표시됩니다. 해를 원래 식에 대입한 좌변의 값도 함께 나오므로, 우변과 일치하는지 확인할 수 있습니다.
- 풀이 과정을 따라가 봅니다 아래의 ‘풀이 과정’에 행 바꾸기, 몇 배 하기, 몇 배 해서 빼기의 각 단계와 그 직후의 계수 배열이 차례대로 나옵니다.
더 잘 활용하기 위한 팁
- 계수에 분수가 나오는 문제는 먼저 양변에 분모의 최소공배수를 곱해 정수로 만들어 두면 입력이 편합니다. 물론 1/2처럼 분수 그대로 넣어도 같은 해가 나옵니다.
- 0.1 같은 소수도 내부에서는 1/10이라는 분수로 다루기 때문에, 부동소수점의 반올림 오차로 답이 어긋나는 일이 없습니다.
- 풀이 과정은 ‘왼쪽 열부터 차례로, 그 열의 계수를 한 식에만 남긴다’는 순서로 진행됩니다. 교과서의 가감법과는 소거하는 순서가 다를 수 있지만, 최종 해는 같습니다.
- 그래프로 교점을 확인하고 싶은 2원 문제는 일차함수 그래프에서 두 직선을 그려 보면, 교점의 좌표가 연립방정식의 해와 같다는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다.
연립방정식 계산기가 도움이 되는 상황
중학교 수학 숙제·시험의 답 맞추기
연립방정식은 중학교 수학에서 배우는 중요한 단원입니다. 풀이 과정이 나오므로, 답이 맞지 않을 때 어느 단계에서 계수를 틀렸는지 찾아낼 수 있습니다.
개수와 금액에 관한 문장제 풀기
‘사과와 귤을 합쳐 10개 사고 1,000엔을 냈다’처럼, 전체 개수와 전체 금액으로부터 각각의 개수를 구하는 문제를 그대로 식으로 세워 풀 수 있습니다.
3원 이상의 연립방정식 풀기
고등학교·대학교의 선형대수나 전기 회로의 키르히호프 법칙처럼 미지수가 3개 이상이 되는 문제는 손으로 계산하면 시간이 걸리고 틀리기 쉬우므로, 검산에 알맞습니다.
혼합·배합 비율 구하기
농도가 다른 소금물을 섞어 목표한 농도와 양을 만들고 싶을 때, 각각을 몇 g씩 섞으면 되는지를 연립방정식으로 구할 수 있습니다.
닭과 토끼 문제의 생각을 식으로 확인하기
산수의 닭과 토끼 문제는 이원일차 연립방정식과 같은 구조입니다. 넓이 그림을 이용한 풀이는 닭과 토끼 문제 계산기에서 확인할 수 있습니다.
연립방정식 관련 용어
- 연립일차방정식
- 문자에 대해 일차인(제곱이나 문자끼리의 곱을 포함하지 않는) 방정식을 여러 개 묶은 것입니다. 모든 식을 동시에 만족하는 문자의 값의 쌍을 해라고 합니다.
- 원(元)
- 미지수의 개수를 말합니다. x와 y 두 개를 구하는 것을 2원, x·y·z 세 개를 구하는 것을 3원 연립방정식이라고 부릅니다.
- 가감법
- 식을 몇 배 해서 더하거나 빼서 한 문자를 소거해 푸는 방법입니다. 중학교에서 처음 배우는 풀이법이며, 가우스-조르당 소거법의 기초가 됩니다.
- 대입법
- 한쪽 식을 ‘x = …’ 꼴로 변형해 다른 식에 대입함으로써 문자를 줄이는 방법입니다. 계수가 1인 문자가 있을 때 빠르게 풀 수 있습니다.
- 가우스-조르당 소거법
- 계수를 행렬 꼴로 나열하고, 행 바꾸기·상수배·다른 행의 상수배 더하고 빼기를 되풀이해 각 열의 계수를 한 행에만 남기는 풀이법입니다. 이 도구의 풀이 과정은 이 방법으로 표시합니다.
- 첨가행렬
- 연립방정식의 계수를 나열한 행렬의 오른쪽에 우변의 값을 한 열 덧붙인 것입니다. 식을 쓰지 않고 수만으로 변형 과정을 따라갈 수 있습니다.
- 불능·부정
- 해가 하나도 존재하지 않는 것을 불능, 해가 무수히 많아 하나로 정해지지 않는 것을 부정이라고 합니다.
- 랭크(행렬의 계수)
- 가우스-조르당 소거법으로 변형한 뒤 남는, 0이 아닌 행의 개수입니다. 계수행렬과 첨가행렬의 랭크가 일치하지 않으면 불능, 일치하더라도 미지수의 개수보다 작으면 부정이 됩니다.
자주 묻는 질문
여담 ― 2000년 전의 중국에서 세키 다카카즈, 그리고 가우스로
연립일차방정식을 계수의 배열만으로 푸는 방법은 놀라울 만큼 오래전부터 알려져 있었습니다. 중국의 수학서 『구장산술』(기원후 1세기 무렵까지 성립한 것으로 여겨집니다)의 제8장 ‘방정’에는, 산가지를 판 위에 세로로 늘어놓고 열끼리 몇 배 해서 서로 빼 나감으로써 미지수를 소거하는 절차가 적혀 있습니다. 이는 오늘날의 가우스-조르당 소거법과 거의 같은 생각이며, 게다가 계산 도중에 음수가 나타나는 것을 전제로 한 규칙까지 쓰여 있었습니다.
일본에서는 에도 시대의 와산가(일본 전통 수학자) 세키 다카카즈(関孝和)가 1683년의 저작 『해복제지법(解伏題之法)』에서, 방정식에서 문자를 소거하는 과정에 나타나는 식을 정리하고 오늘날의 행렬식에 해당하는 개념을 다루었습니다. 4차 이상의 경우에는 오류도 포함되어 있었지만, 유럽에서 라이프니츠가 비슷한 생각을 편지에 적은 것은 1693년(초고는 1678년 무렵이라는 견해도 있습니다)이므로, 세키 다카카즈는 유럽과는 독립적으로 거의 같은 시기 혹은 그보다 일찍 이 생각에 도달했던 셈입니다.
‘가우스 소거법’이라는 이름은, 수학자 가우스가 19세기 초 소행성 팔라스의 궤도 계산 등에서 최소제곱법의 연립방정식을 풀 때 소거 절차를 정리하는 독자적인 표기법을 고안했고, 그것이 이후 계산 전문가들 사이에 퍼진 데서 유래합니다. 다만 가우스 자신은 이 방법을 ‘흔한 소거법(eliminatio vulgaris)’이라고 불렀으며, 발명자라고 할 수는 없습니다. 1923년 시점에도 아직 가우스의 이름으로 불리지 않았고, 이 이름이 자리 잡은 것은 20세기에 들어서의 일입니다.
오늘날에는 수천·수만 개의 미지수를 가진 연립방정식이 일기 예보나 구조물의 강도 계산, 이미지 처리 등에서 일상적으로 컴퓨터에 의해 풀리고 있습니다. 다만 그 중심에 있는 ‘문자를 하나씩 없애 나간다’는 발상은 중학교에서 배우는 가감법에서 조금도 달라지지 않았습니다.