方程组计算器 ― 附解题步骤，求解二元至五元方程组
方程组计算器，在线解方程组。只需输入二元、三元直至五元线性方程组的系数，即可附带高斯-若尔当消元法（加减消元法）的解题步骤，以分数形式精确求解。还能判定无解和无穷多解，显示通解并进行验算。
计算示例：用加减消元法解二元一次方程组
这是“每个 10 元和每个 20 元的……”这类应用题中常见的形式。把其中一个方程乘以若干倍后相减、消去一个未知数，就是加减消元法的基本思路，本工具的计算过程也按照同样的思路进行。
| 方程① | x + y = 10 |
|---|---|
| 方程② | 2x + 4y = 26 |
| ② − ①×2 | 2y = 6 → y = 3 |
| 代入① | x + 3 = 10 → x = 7 |
| 解 | x = 7, y = 3 |
什么是方程组计算器
方程组问题是求同时满足两个或更多方程的未知数的值。本计算器可以求解从 x、y 二元到 x、y、z、w、v 五元的线性方程组，只需输入系数和右边的常数即可得到解。结果不会四舍五入成小数，而是以分数形式精确显示；同时列出把哪个方程乘以几倍再相减的全部步骤（高斯-若尔当消元法的每一步），方便您核对手算的答案，或找出计算在哪一步出了错。
线性方程组的解只有三种情况：“有唯一解”“无解”“有无穷多解”。例如 x + y = 2 与 2x + 2y = 5 的左边成比例而右边不符，因此无解；x + y = 2 与 2x + 2y = 4 实际上是同一个方程，因此有无穷多解。本工具会自动作出判定，在有无穷多解时还会用 t 等字母给出通解。本工具只能处理一次式（不含未知数的平方或未知数之间的乘积），不支持含有 x² 或 xy 的方程组。
方程组计算器的使用方法
- 选择未知数个数 从“2元”到“5元”中选择。方程的个数与未知数个数相同，未知数依次使用 x、y、z、w、v。
- 把方程整理成 ax + by = c 的形式 通过移项把含未知数的项放到左边、常数项放到右边。例如 3x = 5 − 2y 要先改写成 3x + 2y = 5 再输入。
- 输入系数和右边的常数 减号后面的项把系数写成负数（x − 2y 中 y 的系数是 −2），没有出现的未知数系数填 0。分数可以输入 3/4，小数可以输入 0.5。
- 查看解和验算结果 所有输入框填好后，解会立即显示。同时还会列出把解代入原方程后左边的值，可以确认是否与右边一致。
- 查看计算过程 下方的“计算过程”会按顺序列出交换行、乘以几倍、乘以几倍后相减等每个步骤，以及每一步之后的系数排列。
用好本工具的小技巧
- 系数中带分数的题目，可以先在等式两边同乘分母的最小公倍数化为整数，输入会更轻松。当然，直接输入 1/2 这样的分数也会得到相同的解。
- 0.1 这样的小数在内部也会当作 1/10 这个分数处理，因此不会因为浮点数的舍入误差而导致答案出现偏差。
- 计算过程按照“从左边的列开始，依次让该列的系数只保留在一个方程中”的顺序进行。消元的顺序可能与课本上的加减消元法不同，但最终的解是一样的。
- 想用图像确认交点的二元问题，可以在一次函数图像中画出两条直线，直观地看到交点坐标正是方程组的解。
方程组计算器的适用场景
核对初中数学作业和考试答案
二元一次方程组是初中数学的重要内容。因为会显示解题步骤，答案对不上时可以找出是在哪一步把系数算错了。
解个数与金额的应用题
像“苹果和橘子一共买了 10 个，总共花了 1,000 日元”这样，根据总个数和总金额求出各自数量的问题，可以直接列成方程组求解。
求解三元以上的方程组
高中、大学的线性代数，以及电路中的基尔霍夫定律等未知数在三个以上的问题，手算既费时又容易出错，很适合用来验算。
求混合与配比的比例
想把浓度不同的盐水混合成目标浓度和分量时，各需要多少克，可以列成方程组求出。
用方程验证鸡兔同笼的思路
算术中的鸡兔同笼问题与二元一次方程组的结构相同。面积图的解法可以在鸡兔同笼计算器中查看。
方程组相关术语
- 线性方程组
- 由若干个关于未知数的一次方程（不含平方或未知数之间的乘积）组成的方程组。同时满足所有方程的一组未知数的值称为方程组的解。
- 元
- 指未知数的个数。求 x 和 y 两个未知数的称为二元方程组，求 x、y、z 三个未知数的称为三元方程组。
- 加减消元法
- 把方程乘以若干倍后相加或相减，消去一个未知数再求解的方法。这是初中最先学到的解法，也是高斯-若尔当消元法的基础。
- 代入消元法
- 把一个方程变形为“x = …”的形式，再代入另一个方程以减少未知数的方法。当某个未知数的系数为 1 时，用它求解会很快。
- 高斯-若尔当消元法
- 把系数排成矩阵，反复进行交换行、乘以常数、加减其他行的常数倍等操作，使每一列的系数只保留在一行中的解法。本工具的计算过程就是按这种方法显示的。
- 增广矩阵
- 在方程组的系数矩阵右侧，再添加一列右边常数所得到的矩阵。不必写出方程，只用数字就能追踪变形过程。
- 无解与无穷多解
- 一组解都不存在的情况称为无解（方程组矛盾）；解有无穷多个、无法确定为唯一一组的情况称为有无穷多解。
- 秩
- 经高斯-若尔当消元法变形后剩下的非零行的个数。系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时无解；相等但小于未知数个数时有无穷多解。
常见问题
闲话 ― 从两千年前的中国到关孝和，再到高斯
只用系数的排列来解线性方程组的方法，早在很久以前就为人所知。中国数学典籍《九章算术》（一般认为成书不晚于公元 1 世纪前后）第八章“方程”中，记载了把算筹纵向排列在算板上，让各列相互乘以若干倍后相减，从而逐个消去未知数的步骤。这与今天的高斯-若尔当消元法几乎是同一种思路，书中甚至还写有以计算途中出现负数为前提的运算规则。
在日本，江户时代的和算家关孝和在 1683 年的著作《解伏题之法》（解伏題之法）中，整理了从方程中消去未知数时出现的式子，处理了相当于今天行列式的概念。虽然四阶以上的情形中含有错误，但欧洲的莱布尼茨在书信中写下类似想法是在 1693 年（也有观点认为其草稿写于 1678 年前后），可以说关孝和独立于欧洲，几乎在同一时期甚至更早就得出了这一思想。
“高斯消元法”这个名称，源于数学家高斯在 19 世纪初计算小行星智神星（帕拉斯）的轨道等工作中，求解最小二乘法的方程组时，设计了一套整理消元步骤的独特记法，后来在从事计算工作的专家中流传开来。不过，高斯本人把这种方法称为“普通的消元法（eliminatio vulgaris）”，他并不是发明者。直到 1923 年这种方法仍未以高斯命名，这一名称是进入 20 世纪之后才逐渐固定下来的。
如今，拥有数千、数万个未知数的方程组，每天都在天气预报、建筑结构强度计算、图像处理等领域由计算机求解。不过，其核心“逐个消去未知数”的思路，与初中所学的加减消元法丝毫没有改变。