Gleichungssystem Rechner – lineare Gleichungssysteme lösen mit Rechenweg (2 bis 5 Unbekannte)

Gleichungssystem Rechner: Geben Sie die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems mit 2 bis 5 Unbekannten ein und erhalten Sie die exakte Lösung als Bruch – mit jedem Schritt des Gauß-Jordan-Verfahrens. Erkennt auch Systeme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen.

Zuletzt aktualisiert: 2026-10-24

Rechenbeispiel: Ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten mit dem Additionsverfahren lösen

Diese Form kommt häufig bei Textaufgaben wie „Einige Artikel kosten 10, andere 20 …“ vor. Der Kern des Additionsverfahrens besteht darin, eine Gleichung mit einer Zahl zu multiplizieren und von der anderen abzuziehen, sodass eine Variable verschwindet. Der Rechenweg dieses Tools folgt genau demselben Gedanken.

Gleichung ①	x + y = 10
Gleichung ②	2x + 4y = 26
② − ①×2	2y = 6　→　y = 3
In ① einsetzen	x + 3 = 10　→　x = 7
Lösung	x = 7, y = 3

Was ist der Gleichungssystem Rechner?

Bei einem Gleichungssystem werden die Werte der Variablen gesucht, die zwei oder mehr Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Dieser Rechner löst lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten (x und y) bis zu fünf Unbekannten (x, y, z, w und v) – Sie geben lediglich die Koeffizienten und die rechten Seiten ein. Das Ergebnis wird nicht als gerundete Dezimalzahl, sondern exakt als Bruch angezeigt. Zudem werden alle Zwischenschritte aufgeführt (welche Gleichung mit welcher Zahl multipliziert und von welcher abgezogen wurde, also die einzelnen Schritte des Gauß-Jordan-Verfahrens). So können Sie von Hand berechnete Ergebnisse überprüfen oder genau feststellen, an welcher Stelle sich ein Rechenfehler eingeschlichen hat.

Ein lineares Gleichungssystem hat immer entweder „genau eine Lösung“, „keine Lösung (unlösbar)“ oder „unendlich viele Lösungen (unterbestimmt)“. Bei x + y = 2 und 2x + 2y = 5 zum Beispiel sind die linken Seiten proportional, die rechten Seiten passen aber nicht zusammen – es gibt also keine Lösung. x + y = 2 und 2x + 2y = 4 sind dagegen im Grunde dieselbe Gleichung, daher gibt es unendlich viele Lösungen. Das Tool nimmt diese Einordnung automatisch vor und zeigt im unterbestimmten Fall die allgemeine Lösung mit Parametern wie t an. Es verarbeitet nur lineare Gleichungen (ohne Quadrate von Variablen und ohne Produkte von Variablen); Gleichungssysteme mit Termen wie x² oder xy werden nicht unterstützt.

So verwenden Sie den Gleichungssystem Rechner

Anzahl der Unbekannten wählen Wählen Sie zwischen „2 Unbekannte“ und „5 Unbekannte“. Die Anzahl der Gleichungen entspricht der Anzahl der Unbekannten, und die Variablen werden in der Reihenfolge x, y, z, w, v verwendet.
Gleichungen in die Form ax + by = c bringen Formen Sie so um, dass die Terme mit Variablen links und die reinen Zahlen rechts stehen. Schreiben Sie zum Beispiel 3x = 5 − 2y vor der Eingabe als 3x + 2y = 5.
Koeffizienten und rechte Seiten eingeben Bei subtrahierten Termen ist der Koeffizient negativ (bei x − 2y ist der Koeffizient von y also −2), und für Variablen, die nicht vorkommen, tragen Sie 0 ein. Brüche geben Sie als 3/4 ein, Dezimalzahlen als 0.5.
Lösung und Probe prüfen Sobald alle Felder ausgefüllt sind, erscheint die Lösung sofort. Zusätzlich werden die Werte der linken Seiten nach Einsetzen der Lösung angezeigt, sodass Sie prüfen können, ob sie mit den rechten Seiten übereinstimmen.
Den Rechenweg nachvollziehen Im Abschnitt „Rechenweg“ weiter unten erscheinen nacheinander alle Schritte – Zeilen vertauschen, mit einer Zahl multiplizieren, ein Vielfaches abziehen – jeweils zusammen mit den Koeffizienten direkt danach.

Tipps für die Nutzung

Kommen in den Koeffizienten Brüche vor, ist die Eingabe einfacher, wenn Sie beide Seiten zuerst mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner multiplizieren und so ganze Zahlen erhalten. Selbstverständlich ergibt auch die direkte Eingabe von Brüchen wie 1/2 genau dieselbe Lösung.
Dezimalzahlen wie 0.1 werden intern als Bruch 1/10 behandelt. Rundungsfehler durch Gleitkommazahlen können das Ergebnis daher nicht verfälschen.
Der Rechenweg geht Spalte für Spalte von links vor und lässt den Koeffizienten jeder Spalte nur in einer Gleichung stehen. Die Reihenfolge, in der Variablen eliminiert werden, kann von der im Schulbuch abweichen, die endgültige Lösung ist aber dieselbe.
Wenn Sie bei Aufgaben mit zwei Unbekannten den Schnittpunkt grafisch sehen möchten, zeichnen Sie beide Geraden mit dem Graphen für lineare Funktionen. So können Sie mit eigenen Augen bestätigen, dass die Koordinaten des Schnittpunkts die Lösung des Gleichungssystems sind.

Wann der Gleichungssystem Rechner hilfreich ist

Hausaufgaben und Klassenarbeiten in Mathematik kontrollieren

Lineare Gleichungssysteme sind ein fester Bestandteil der Algebra in der Sekundarstufe. Da der Rechenweg angezeigt wird, finden Sie bei einem abweichenden Ergebnis heraus, an welcher Stelle ein Koeffizient falsch berechnet wurde.

Textaufgaben zu Stückzahl und Preis lösen

Aufgaben wie „Sie kaufen insgesamt 10 Äpfel und Orangen und bezahlen 1.000 Yen“, bei denen aus der Gesamtzahl und dem Gesamtbetrag die Aufteilung bestimmt werden soll, lassen sich direkt als Gleichungen aufschreiben und lösen.

Gleichungssysteme mit drei oder mehr Unbekannten lösen

Aufgaben mit drei oder mehr Unbekannten, etwa aus der linearen Algebra in Oberstufe und Studium oder bei Stromkreisen mit den Kirchhoffschen Regeln, sind von Hand aufwendig und fehleranfällig. Zur Kontrolle ist dieses Tool daher besonders geeignet.

Misch- und Mengenverhältnisse bestimmen

Wenn Sie Salzlösungen unterschiedlicher Konzentration mischen möchten, um eine gewünschte Konzentration und Menge zu erhalten, können Sie über ein Gleichungssystem berechnen, wie viel Gramm Sie von jeder Lösung benötigen.

Die Hühner-und-Kaninchen-Aufgabe mit Gleichungen prüfen

Die klassische Köpfe-und-Beine-Aufgabe mit Hühnern und Kaninchen (in Japan als Kraniche und Schildkröten, Tsurukame-zan, bekannt) hat genau dieselbe Struktur wie ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Den Lösungsweg mit Flächendiagramm finden Sie im Hühner-und-Kaninchen-Rechner.

Glossar zum Gleichungssystem

Lineares Gleichungssystem: Mehrere Gleichungen, die in den Variablen linear sind (ohne Quadrate und ohne Produkte von Variablen). Eine Wertekombination, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt, nennt man Lösung.
Anzahl der Unbekannten: Die Anzahl der gesuchten Variablen. Ein System für x und y hat zwei Unbekannte, ein System für x, y und z hat drei Unbekannte.
Additionsverfahren: Ein Verfahren, bei dem Gleichungen mit geeigneten Zahlen multipliziert und dann addiert oder subtrahiert werden, um jeweils eine Variable zu eliminieren. Es wird meist als erstes Lösungsverfahren gelernt und bildet die Grundlage des Gauß-Jordan-Verfahrens.
Einsetzungsverfahren: Ein Verfahren, bei dem eine Gleichung in die Form „x = …“ gebracht und in die andere Gleichung eingesetzt wird, um die Zahl der Variablen zu verringern. Es ist besonders schnell, wenn eine Variable den Koeffizienten 1 hat.
Gauß-Jordan-Verfahren: Ein Verfahren, bei dem die Koeffizienten als Matrix angeordnet und durch wiederholtes Vertauschen von Zeilen, Multiplizieren mit Konstanten und Addieren bzw. Subtrahieren von Vielfachen anderer Zeilen so umgeformt werden, dass der Koeffizient jeder Spalte nur noch in einer Zeile steht. Der Rechenweg dieses Tools wird nach diesem Verfahren dargestellt.
Erweiterte Koeffizientenmatrix: Die Koeffizientenmatrix eines Gleichungssystems, rechts ergänzt um eine Spalte mit den Werten der rechten Seiten. Damit lassen sich die Umformungen allein mit Zahlen verfolgen, ohne die Gleichungen auszuschreiben.
Unlösbar / unterbestimmt: Ein Gleichungssystem heißt unlösbar, wenn es überhaupt keine Lösung besitzt, und unterbestimmt, wenn es unendlich viele Lösungen gibt und sich keine eindeutige Lösung festlegen lässt.
Rang: Die Anzahl der Zeilen ungleich null, die nach der Umformung mit dem Gauß-Jordan-Verfahren übrig bleiben. Stimmen die Ränge der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix nicht überein, ist das System unlösbar; stimmen sie überein, sind aber kleiner als die Anzahl der Unbekannten, ist es unterbestimmt.

Häufig gestellte Fragen

Mit beiden Verfahren erhalten Sie dasselbe Ergebnis. Hat eine Variable den Koeffizienten 1 oder −1 und lässt sie sich leicht in die Form „y = …“ bringen, ist das Einsetzungsverfahren oft schneller; andernfalls ist das Additionsverfahren meist einfacher zu rechnen. Ab drei Unbekannten passieren mit dem Gauß-Jordan-Verfahren, das das Additionsverfahren systematisch anwendet, deutlich weniger Fehler.

Widersprechen sich die Gleichungen (die linken Seiten sind proportional, die rechten Seiten passen aber nicht zusammen), gibt es keine Lösung. Lässt sich eine Gleichung aus einer Kombination der anderen bilden (es gibt also faktisch zu wenige Gleichungen), gibt es unendlich viele Lösungen. Prüfen Sie zunächst, ob Sie sich vertippt haben; entspricht die Eingabe der Aufgabe, ist das tatsächlich die Antwort für dieses Gleichungssystem.

Ja. Als Koeffizienten und rechte Seiten können Sie Brüche wie 3/4 und Dezimalzahlen wie 0.25 direkt eingeben. Intern wird alles exakt als Bruch berechnet. Die Antwort erscheint daher als gekürzter Bruch, und wenn sie keine ganze Zahl ist, wird zusätzlich ein dezimaler Näherungswert angegeben.

Dieses Tool verarbeitet nur lineare Gleichungen. Gleichungssysteme mit quadratischen Termen wie x² oder Produkten von Variablen wie xy (etwa quadratische Gleichungssysteme) werden daher nicht unterstützt. Lassen sich die Gleichungen in lineare umformen, vereinfachen Sie sie bitte zuerst und geben Sie sie dann ein.

Dieses Tool verwendet immer gleich viele Gleichungen wie Unbekannte. Haben Sie zu wenige Gleichungen, füllen Sie die übrigen Zeilen mit lauter Nullen als Koeffizienten und rechte Seiten; das Tool meldet dann „unendlich viele Lösungen“ und gibt die allgemeine Lösung an. Haben Sie zu viele Gleichungen, lösen Sie das System mit so vielen Gleichungen, wie es Unbekannte gibt, und setzen Sie das Ergebnis anschließend in die übrigen Gleichungen ein, um zu prüfen, ob sie erfüllt sind.

Übrigens – vom China vor 2000 Jahren über Seki Takakazu bis zu Gauß

Die Methode, lineare Gleichungssysteme allein anhand der Anordnung der Koeffizienten zu lösen, ist erstaunlich alt. Im 8. Kapitel „Fangcheng“ des chinesischen Mathematikbuchs Neun Kapitel der Rechenkunst (das vermutlich spätestens im 1. Jahrhundert n. Chr. entstanden ist) wird beschrieben, wie man Rechenstäbchen in senkrechten Spalten auf einem Brett anordnet und Unbekannte eliminiert, indem man Spalten mit einer Zahl multipliziert und voneinander abzieht. Das entspricht fast genau dem heutigen Gauß-Jordan-Verfahren, und es wurden sogar Regeln festgehalten, die davon ausgehen, dass im Laufe der Rechnung negative Zahlen auftreten.

In Japan ordnete der Mathematiker Seki Takakazu aus der Edo-Zeit in seinem Werk Kai Fukudai no Hō von 1683 die Ausdrücke, die beim Eliminieren von Variablen aus Gleichungen entstehen, und behandelte dabei ein Konzept, das der heutigen Determinante entspricht. Für die Fälle ab der vierten Ordnung enthielt seine Darstellung zwar Fehler, doch Leibniz hielt einen ähnlichen Gedanken in Europa erst 1693 in einem Brief fest (manche datieren seine Entwürfe auf etwa 1678). Seki gelangte also unabhängig von Europa etwa zur gleichen Zeit oder sogar früher zu dieser Idee.

Der Name „Gaußsches Eliminationsverfahren“ geht darauf zurück, dass der Mathematiker Gauß Anfang des 19. Jahrhunderts beim Lösen von Gleichungssystemen der Methode der kleinsten Quadrate – etwa für die Bahnberechnung des Asteroiden Pallas – eine eigene Notation zur Ordnung der Eliminationsschritte entwickelte, die sich später unter den professionellen Rechnern verbreitete. Gauß selbst nannte das Verfahren allerdings „gewöhnliche Elimination“ (eliminatio vulgaris) und war nicht sein Erfinder. Noch 1923 wurde es nicht nach Gauß benannt; diese Bezeichnung setzte sich erst im 20. Jahrhundert durch.

Heute lösen Computer ganz alltäglich Gleichungssysteme mit Tausenden oder Zehntausenden von Unbekannten, etwa für die Wettervorhersage, die Festigkeitsberechnung von Bauwerken oder die Bildverarbeitung. Der Grundgedanke im Kern – Variablen eine nach der anderen zu eliminieren – hat sich jedoch gegenüber dem Additionsverfahren aus dem Schulunterricht kein bisschen verändert.

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