Grafico della funzione esponenziale (y = a·bˣ + c)
Inserite il coefficiente a, la base b e la traslazione c per tracciare la funzione esponenziale y = a·bˣ + c. Intercetta con l'asse y, asintoto orizzontale e incremento di raddoppio vengono calcolati automaticamente.
Consigli
- Con base b > 1 si ha crescita esponenziale (curva ascendente), con 0 < b < 1 decadimento esponenziale (curva discendente).
- La curva si avvicina all'asintoto orizzontale y = c. Con c = 0, per x → ±∞ il grafico tende all'asse x.
- Quando il coefficiente a è negativo il grafico si ribalta verticalmente: anche con b > 1 la curva risulta discendente.
- L'«incremento di x che raddoppia y» è il valore di x che soddisfa b^x = 2, cioè ln(2)/ln(b). Con b = 2, per esempio, ogni volta che x aumenta di 1 il valore di y raddoppia.
Domande frequenti
Con b = 1 si ottiene y = a·1^x + c = a + c, cioè una costante: non è più una funzione esponenziale. Per questo lo strumento non accetta b = 1.
Con b negativo o nullo, b^x non è definita su tutti i numeri reali. Con b = −2, per esempio, (−2)^0,5 non è un numero reale.
Inserite in b il valore «2.71828» (approssimazione di e); per maggiore precisione usate 2.718281828. Con a = 1 e c = 0 otterrete il grafico di y = eˣ.
A proposito — il legame fra interesse composto ed esponenziale
La funzione esponenziale è strettamente legata all'interesse composto. Un capitale P investito per n anni a un tasso annuo r diventa P · (1 + r)ⁿ: è esattamente una funzione esponenziale con a = P, b = 1 + r e c = 0.
La base dei logaritmi naturali, e ≈ 2,71828, compare proprio al limite del calcolo continuo degli interessi: e è il limite di (1 + 1/n)ⁿ per n → ∞. La funzione y = eˣ ha la proprietà singolare di coincidere con la propria derivata, e per questo ricorre ovunque in analisi, fisica e teoria della probabilità.