Grafico della funzione lineare y = ax + b (calcolatrice gratuita in rete)

Basta inserire il coefficiente angolare e l'intercetta per tracciare gratuitamente il grafico della retta. Passando il puntatore si leggono le coordinate e si calcola all'istante il valore corrispondente a una qualsiasi ascissa.

Che cos’è il grafico di una funzione lineare

Una funzione lineare si scrive y = ax + b e il suo grafico è sempre una retta. La a è il coefficiente angolare e stabilisce di quanto muti y quando x cresce di uno; la b è l’intercetta e stabilisce l’altezza alla quale la retta taglia l’asse delle ordinate. Fissati questi due numeri, con essi resta fissata la retta, ed è per questo che tracciarla non richiede altro.

Questo strumento traccia la retta da quei due soli valori e ricava insieme l’intercetta sull’asse y e quella sull’asse x. La seconda discende da y = 0, ossia x = −b ÷ a; quando il coefficiente angolare è nullo la retta corre parallela all’asse x e al suo posto compare «nessuna». Se inserisce una x qualsiasi si calcola anche la y di quel punto e, passando il puntatore sul grafico, le coordinate di quella posizione compaiono in un fumetto. L’intervallo di x mostrato si può cambiare, sicché può ingrandire presso l’origine oppure osservare una zona lontana dall’intercetta.

Come si usa il grafico della funzione lineare

Inserisca coefficiente angolare e intercetta Indichi a e b e la retta viene tracciata all’istante. Una a negativa dà una retta che scende da sinistra a destra.
Fissi l’intervallo di x Indichi xMin e xMax per mostrare il solo tratto che le interessa. Se xMin non è minore di xMax non vi è alcun intervallo, e un avviso lo segnala.
Trovi la y per una x determinata Scriva un numero nel campo della x e viene calcolata la y corrispondente, con maggiore esattezza di quanta se ne ottenga leggendola a occhio dal grafico.
Verifichi le intercette Le intercette sugli assi y e x compaiono da sole. In una retta orizzontale, di coefficiente nullo, non vi è taglio con l’asse x, sicché si legge «nessuna».
Legga le coordinate sul grafico Passi il puntatore sulla retta e il (x, y) del punto compare in un fumetto, comodo quando le basta un valore approssimato.

Consigli per sfruttarlo al meglio

Il coefficiente angolare esprime di quanto varia y quando x aumenta di uno. Se è positivo la retta sale verso destra, se è negativo scende.
L'intercetta è il punto in cui il grafico incontra l'asse delle ordinate e coincide con il valore di y per x uguale a zero.
L'intercetta sull'asse delle ascisse, cioè il punto in cui il grafico incontra quell'asse, si ricava annullando y: x uguale all'intercetta cambiata di segno diviso il coefficiente angolare. Se il coefficiente è nullo la retta è orizzontale e non incontra l'asse, salvo quando anche l'intercetta è nulla, nel qual caso la retta coincide con l'asse stesso.
Passando il puntatore sul grafico compaiono in un riquadro le coordinate di quel punto. Per conoscere il valore di y in corrispondenza di una determinata ascissa, inseritela nel campo a sinistra.

Dove il grafico è utile

Studiare la matematica della scuola

Ritracci la retta mutando a poco a poco coefficiente o intercetta e vedrà con i propri occhi come un cambiamento dei numeri si traduca nella direzione e nella posizione della retta. Serve anche a controllare gli esercizi del libro.

Correggere i propri compiti

Verifichi se le intercette che ha ricavato, o la y per una x determinata, tornino uguali.

Prevedere ciò che cresce a ritmo costante

Una tariffa fatta di «b come quota fissa più a per unità», o la distanza percorsa a velocità costante, sono funzioni lineari: tutto ciò che cresce in proporzione si scrive così.

Esaminare il rapporto fra due rette

Se tiene fermo il coefficiente e muta la sola intercetta, le rette restano parallele; se muta il segno del coefficiente, muta il modo in cui si incontrano. Aiuta a vedere che la soluzione di un sistema di equazioni è il punto d’incontro.

Confrontarla con una curva

Per contrapporla a una curva usi il grafico della funzione quadratica; per salire di un grado ancora, il grafico della funzione cubica.

Termini sulla funzione lineare

Funzione lineare: Funzione della forma y = ax + b con a diverso da zero. Prende il nome dal comparire di x alla prima potenza, e il suo grafico è sempre una retta.
Coefficiente angolare: La a della formula: l’incremento di y quando x cresce di uno. Positivo, la retta sale verso destra; negativo, scende; nullo, è orizzontale. Quanto maggiore il suo valore assoluto, tanto più ripida la retta.
Intercetta sull’asse y: L’ordinata del punto in cui il grafico incontra l’asse delle ordinate, cioè la b della formula. Coincide con il valore di y quando si pone x uguale a zero.
Intercetta sull’asse x: L’ascissa del punto in cui il grafico incontra l’asse delle ascisse. Risolvere y = 0 dà x = −b ÷ a. Se il coefficiente angolare è nullo, la retta è parallela a quell’asse e tale punto non esiste.
Proporzionalità diretta: Funzione della forma y = ax, ossia una funzione lineare con intercetta nulla. Il suo grafico passa sempre per l’origine, e una funzione lineare si può vedere come quel grafico spostato di b lungo l’asse delle ordinate.
Rapporto incrementale: Il rapporto fra l’incremento di y e quello di x. In una funzione lineare è il medesimo ovunque lo si misuri, e tale valore è per l’appunto il coefficiente angolare a.

Domande frequenti

La proporzionalità diretta è il caso particolare in cui l'intercetta è nulla. Ponendo a zero l'intercetta nella funzione di primo grado si ottiene appunto una proporzionalità: il grafico passa allora sempre per l'origine, mentre in generale la retta è traslata verticalmente di quanto vale l'intercetta.

Ponendo y uguale a zero e risolvendo l'equazione si ottiene l'intercetta cambiata di segno divisa per il coefficiente angolare, purché quest'ultimo non sia nullo. Lo strumento la calcola e la mostra automaticamente; con coefficiente nullo la retta è parallela all'asse e l'intercetta non esiste.

Si ottiene una retta orizzontale: per qualunque valore di x, y resta costantemente pari all'intercetta. Se anche l'intercetta è nulla, la retta coincide con l'asse delle ascisse. Non incontrando quell'asse in un solo punto, l'intercetta corrispondente è indicata come assente.

Sì. Basta inserire coefficiente angolare e intercetta perché il grafico si tracci automaticamente: si presta quindi allo studio della funzione di primo grado nella scuola secondaria. Sono previsti anche il calcolo di y per una determinata ascissa e la verifica delle due intercette, e passando il puntatore sul grafico si leggono le coordinate di qualunque punto.

A proposito — perché la funzione di primo grado si dice lineare

La funzione di primo grado si chiama in inglese «linear function», dal latino «linearis», cioè «della linea», perché il suo grafico è sempre una retta. A rigore si riserva talvolta il termine «lineare» al caso in cui la retta passa per l'origine, chiamando «affine» l'altro, ma nell'insegnamento scolastico i due casi si accomunano di norma sotto il nome di funzione di primo grado.

La funzione di primo grado è il modello fondamentale in moltissimi campi: fisica, economia, statistica. Percorrendo sessanta chilometri all'ora, per esempio, la distanza dopo un certo numero di ore è una funzione di primo grado con coefficiente angolare sessanta e intercetta nulla. Anche la regressione lineare, con il metodo dei minimi quadrati, consiste nel trovare la retta che meglio si adatta ai dati.

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