Matemática
Calculadora da sequência de Fibonacci (F(n) = F(n-1) + F(n-2))
Calcule números de Fibonacci até F(100) com precisão exata usando BigInt. Visualize a convergência para a razão áurea φ, os números de Lucas e um gráfico de barras dos primeiros N termos.
Dicas
- A sequência de Fibonacci é definida por F(n) = F(n−1) + F(n−2) com F(1) = F(2) = 1 como valores iniciais.
- A razão entre termos consecutivos F(n+1)/F(n) converge para a razão áurea φ ≈ 1,618 à medida que n aumenta. Observe isso na tabela de convergência.
- Para n > 78, os números de ponto flutuante de 64 bits do JavaScript não conseguem mais representar os números de Fibonacci com exatidão. O campo «Encontrar o n-ésimo termo» usa BigInt para calcular F(n) com precisão até n = 100.
- Os números de Fibonacci aparecem em toda a natureza: o arranjo em espiral das sementes de girassol, as escamas de pinhas e as conchas de nautilus seguem padrões de Fibonacci (filotaxia).
Perguntas frequentes
Curiosidade — Fibonacci, a razão áurea e a fórmula de Binet
A sequência foi popularizada na Europa por Leonardo de Pisa (Fibonacci) em seu livro de 1202 Liber Abaci, onde a usou para modelar o crescimento da população de coelhos. No entanto, sequências equivalentes já apareciam na matemática indiana desde 200 a.C. nas obras de Pingala, que estudava métrica poética.
A razão áurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 satisfaz φ² = φ + 1, que é a chave para entender por que os números de Fibonacci convergem para ela. A fórmula de Binet fornece F(n) exatamente: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, onde ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0,618. Essa expressão em forma fechada permite calcular qualquer número de Fibonacci diretamente, sem iteração.