数学
斐波那契数列计算器（F(n) = F(n-1) + F(n-2)）
使用 BigInt 精确计算至 F(100) 的斐波那契数。可视化相邻项之比对黄金比例 φ 的收敛过程、卢卡斯数以及前 N 项的柱状图。
提示
- 斐波那契数列由递推公式 F(n) = F(n−1) + F(n−2) 定义，初始值为 F(1) = F(2) = 1。
- 相邻项之比 F(n+1)/F(n) 随 n 增大而收敛至黄金比例 φ ≈ 1.618。可在收敛表中观察这一过程。
- 当 n > 78 时，JavaScript 的 64 位浮点数无法精确表示斐波那契数。「查找第 n 项」输入框使用 BigInt 可精确计算至 n = 100。
- 斐波那契数广泛出现于自然界：向日葵种子的螺旋排列、松果的鳞片以及鹦鹉螺的截面均遵循斐波那契规律（叶序现象）。
常见问题
两种约定均存在。本工具采用从 1 开始的约定 F(1) = 1, F(2) = 1，这在日本高中数学中较为常见。从 0 开始的约定 F(0) = 0, F(1) = 1 同样有效，在计算机科学中更为普遍。
卢卡斯数与斐波那契数列使用相同的递推关系 L(n) = L(n−1) + L(n−2)，但初始值不同：L(1) = 1, L(2) = 3，后续为 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, …。它们以与斐波那契数列相同的速度收敛至黄金比例。
比内公式是解析式 F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5，其中 φ = (1+√5)/2，ψ = (1−√5)/2。它可以直接由 n 求得斐波那契数，无需计算前项。但对于大 n，浮点误差会导致结果不准确，因此本工具改用 BigInt 整数迭代法。
闲话 ― 斐波那契与黄金比例
这一数列在欧洲由比萨的列奥纳多（斐波那契）通过其 1202 年著作《算盘书》（Liber Abaci）推广，书中以兔子繁殖为模型进行介绍。然而，类似数列早在公元前 200 年便已出现于印度数学家 Pingala 研究诗歌韵律的著作中。
黄金比例 φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 满足 φ² = φ + 1，这正是斐波那契数收敛于 φ 的数学根源。比内公式给出了 F(n) 的精确解析式：F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5，其中 ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0.618，无需迭代即可直接求得任意项。