Mathématiques

Calculateur de suite de Fibonacci (F(n) = F(n-1) + F(n-2))

Calcule les nombres de Fibonacci jusqu'à F(100) de manière exacte avec BigInt. Visualise la convergence vers le nombre d'or φ, la suite de Lucas et un graphique à barres des N premiers termes.

Conseils

  • La suite de Fibonacci est définie par F(n) = F(n−1) + F(n−2) avec F(1) = F(2) = 1 comme valeurs initiales.
  • Le rapport entre termes consécutifs F(n+1)/F(n) converge vers le nombre d'or φ ≈ 1,618 à mesure que n augmente. Observez-le dans le tableau de convergence.
  • Pour n > 78, les flottants 64 bits de JavaScript ne peuvent plus représenter les nombres de Fibonacci exactement. Le champ «Trouver le n-ième terme» utilise BigInt pour calculer F(n) avec précision jusqu'à n = 100.
  • Les nombres de Fibonacci apparaissent partout dans la nature : l'arrangement en spirale des graines de tournesol, les écailles de pommes de pin et les coquilles de nautile suivent tous des motifs de Fibonacci (phyllotaxie).

Questions fréquentes

Les deux conventions existent. Cet outil utilise la convention avec indice 1 : F(1) = 1, F(2) = 1, courante dans les mathématiques lycéennes japonaises. La convention avec indice 0 : F(0) = 0, F(1) = 1, est tout aussi valide et plus répandue en informatique.

Les nombres de Lucas partagent la même récurrence L(n) = L(n−1) + L(n−2) que Fibonacci, mais avec des valeurs initiales différentes : L(1) = 1, L(2) = 3, donnant 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … Ils convergent vers le nombre d'or à la même vitesse que les nombres de Fibonacci.

La formule de Binet est l'expression en forme close F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, où φ = (1+√5)/2 et ψ = (1−√5)/2. Elle donne n'importe quel nombre de Fibonacci directement à partir de n, sans calculer les termes précédents. En pratique, les erreurs d'arrondi la rendent peu fiable pour n grand, c'est pourquoi cet outil utilise l'itération entière avec BigInt.
ツールくん

Anecdote — Fibonacci, le nombre d'or et la formule de Binet

La suite a été popularisée en Europe par Léonard de Pise (Fibonacci) dans son livre de 1202 Liber Abaci, où il l'utilisa pour modéliser la croissance d'une population de lapins. Cependant, des suites équivalentes étaient apparues dans les mathématiques indiennes dès 200 av. J.-C. dans l'œuvre de Pingala, qui étudiait la métrique poétique.

Le nombre d'or φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 vérifie φ² = φ + 1, ce qui explique pourquoi les nombres de Fibonacci convergent vers lui. La formule de Binet donne F(n) exactement : F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, où ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0,618. Cette expression en forme close permet de calculer n'importe quel nombre de Fibonacci directement, sans itération.

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