Mathematik

Fibonacci-Folge Rechner (F(n) = F(n-1) + F(n-2))

Berechne Fibonacci-Zahlen bis F(100) exakt mit BigInt. Visualisiere die Konvergenz zur goldenen Zahl φ, die Lucas-Folge und ein Balkendiagramm der ersten N Glieder.

Tipps

  • Die Fibonacci-Folge ist durch F(n) = F(n−1) + F(n−2) definiert, mit den Startwerten F(1) = F(2) = 1.
  • Das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder F(n+1)/F(n) konvergiert mit wachsendem n gegen den goldenen Schnitt φ ≈ 1,618. Beobachte dies in der Konvergenztabelle.
  • Für n > 78 können 64-Bit-Gleitkommazahlen in JavaScript Fibonacci-Zahlen nicht mehr exakt darstellen. Das Feld «Das n-te Glied finden» verwendet BigInt und berechnet F(n) exakt bis n = 100.
  • Fibonacci-Zahlen treten überall in der Natur auf: die spiralförmige Anordnung von Sonnenblumenkernen, Tannenzapfenschuppen und Nautilus-Schalen folgen Fibonacci-Mustern (Phyllotaxis).

Häufige Fragen

Beide Konventionen existieren. Dieses Tool verwendet die 1-indizierte Konvention F(1) = 1, F(2) = 1, die in der japanischen Gymnasialmathematik üblich ist. Die 0-indizierte Konvention F(0) = 0, F(1) = 1 ist ebenso gültig und in der Informatik weiter verbreitet.

Lucas-Zahlen teilen dieselbe Rekurrenz L(n) = L(n−1) + L(n−2) wie Fibonacci, haben aber andere Startwerte: L(1) = 1, L(2) = 3, was 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … ergibt. Sie konvergieren mit derselben Geschwindigkeit wie Fibonacci-Zahlen gegen den goldenen Schnitt.

Die Binet-Formel ist der geschlossene Ausdruck F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, mit φ = (1+√5)/2 und ψ = (1−√5)/2. Sie liefert jede Fibonacci-Zahl direkt aus n, ohne vorherige Glieder zu berechnen. In der Praxis führen Gleitkommafehler bei großem n zu Ungenauigkeiten, weshalb dieses Tool stattdessen ganzzahlige Iteration mit BigInt verwendet.
ツールくん

Übrigens – Fibonacci, der goldene Schnitt und die Binet-Formel

Die Folge wurde in Europa durch Leonardo von Pisa (Fibonacci) in seinem Buch Liber Abaci von 1202 verbreitet, wo er sie zur Modellierung des Kaninchenwachstums nutzte. Äquivalente Folgen tauchten jedoch bereits um 200 v. Chr. in der indischen Mathematik bei Pingala auf, der Versmaße untersuchte.

Der goldene Schnitt φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 erfüllt φ² = φ + 1, was der Schlüssel dafür ist, warum Fibonacci-Zahlen gegen ihn konvergieren. Die Binet-Formel liefert F(n) exakt: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, wobei ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0,618. Dieser geschlossene Ausdruck erlaubt die direkte Berechnung jeder Fibonacci-Zahl ohne Iteration.

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