Vektorrechner (Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag, Einheitsvektor, Winkel)
Geben Sie zwei 2D- oder 3D-Vektoren ein, um sofort Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag (Norm), Einheitsvektoren und den Winkel zwischen beiden Vektoren zu berechnen — ein kostenloser Vektorrechner.
Tipps
- Wechseln Sie mit den Tabs oben zwischen 2D und 3D. Bei Auswahl von 3D erscheinen die Eingabefelder für die z-Komponente sowie das Ergebnis des Kreuzprodukts.
- Ist das Skalarprodukt 0, stehen die beiden Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander. Ein positiver Wert bedeutet einen spitzen Winkel zwischen ihnen, ein negativer Wert einen stumpfen Winkel.
- Der resultierende Kreuzproduktvektor zeigt in eine Richtung senkrecht zu beiden Eingabevektoren, gemäß der Rechte-Hand-Regel.
- Ein Einheitsvektor ist der ursprüngliche Vektor geteilt durch seinen Betrag (seine Norm) — er hat eine Länge von genau 1 und stellt nur die Richtung dar. Verwenden Sie ihn, wenn nur die Richtung zählt, nicht die Größe.
- Die Eingabe eines Nullvektors (alle Komponenten gleich 0) macht den Betrag zu 0, sodass Einheitsvektor und Winkel dafür nicht berechnet werden können.
Häufig gestellte Fragen
Übrigens – Vektoren entstanden aus Hamiltons Quaternionen
Die heute verwendete Vektornotation geht auf "Quaternionen" zurück, ein System, das der irische Mathematiker William Rowan Hamilton im 19. Jahrhundert erfand, um Drehungen im dreidimensionalen Raum darzustellen. Eine Quaternion besteht aus vier Zahlen, und es waren die drei Komponenten ihres "Imaginärteils", die schließlich zum Prototyp des modernen Vektors wurden.
Der amerikanische Physiker Josiah Willard Gibbs und der britische Ingenieur Oliver Heaviside trennten die Vektoren von den Quaternionen und ordneten sie in das heute verwendete Skalarprodukt und Kreuzprodukt ein. Unabhängig voneinander arbeiteten sie Ende des 19. Jahrhunderts die Teile der Quaternionenalgebra heraus, die für die Physik — insbesondere den Elektromagnetismus — nicht benötigt wurden, und schufen so das noch heute gelehrte Gerüst der Vektoranalysis.
Das Kreuzprodukt wird im Allgemeinen nur für 3D-Vektoren definiert, weil ein dreidimensionaler Raum der einzige ist, in dem sich eine Richtung senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren eindeutig bestimmen lässt. Dank dieser Eigenschaft taucht das Kreuzprodukt in der Physik immer wieder auf — bei Drehmoment und Drehimpuls — sowie in der Computergrafik, wo es zur Berechnung des Normalenvektors einer Fläche verwendet wird.