Vektorrechner (Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag, Einheitsvektor, Winkel)

Geben Sie zwei 2D- oder 3D-Vektoren ein, um sofort Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag (Norm), Einheitsvektoren und den Winkel zwischen beiden Vektoren zu berechnen — ein kostenloser Vektorrechner.

Zuletzt aktualisiert: 2026-09-15

Was dieser Vektorrechner leistet

Geben Sie die Komponenten zweier Vektoren ein, und dieses Werkzeug liefert in einem Zug das Skalarprodukt, das Kreuzprodukt, den Betrag jedes Vektors, die zugehörigen Einheitsvektoren und den eingeschlossenen Winkel. Sie können zwischen zwei und drei Dimensionen wechseln; im Zweidimensionalen bleibt das Feld für das Kreuzprodukt leer, denn diese Verknüpfung ist nur im Dreidimensionalen definiert. Die manchmal als „2D-Kreuzprodukt“ bezeichnete Größe ax·by − ay·bx ist ein Skalar – nämlich lediglich die z-Komponente des dreidimensionalen Kreuzprodukts und kein Vektor.

Alles läuft auf Rechnen mit den Komponenten plus einer Wurzel und einem Arkuskosinus hinaus. Das Skalarprodukt ist a·b = axbx + ayby + azbz, der Betrag √(x² + y² + z²), der Einheitsvektor ergibt sich aus der Division jeder Komponente durch den Betrag, und der Winkel folgt aus cos θ = a·b ÷ (|a||b|). Der Nullvektor besitzt keine Richtung, also lassen sich weder Einheitsvektor noch Winkel bilden; in diesem Fall meldet das Werkzeug einen Fehler, statt eine irreführende Zahl auszugeben.

So benutzen Sie den Vektorrechner

Dimension wählen Entscheiden Sie zuerst zwischen 2D und 3D. Mit 3D erscheint das Feld für die z-Komponente und das Kreuzprodukt wird berechnet.
Komponenten von a und b eintragen Tragen Sie x und y ein (im Dreidimensionalen zusätzlich z). Negative Werte und Dezimalzahlen werden ohne Weiteres verarbeitet.
Ergebnisse lesen Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Beträge, Einheitsvektoren und Winkel erscheinen gemeinsam. Im Zweidimensionalen weist das Feld darauf hin, dass die Verknüpfung drei Dimensionen braucht.
Richtungen an der Zeichnung prüfen Im Zweidimensionalen werden die Vektoren gezeichnet, was Richtungs- und Winkelverhältnisse weit leichter beurteilen lässt als bloße Zahlen.

Tipps für die Nutzung

Wechseln Sie mit den Tabs oben zwischen 2D und 3D. Bei Auswahl von 3D erscheinen die Eingabefelder für die z-Komponente sowie das Ergebnis des Kreuzprodukts.
Ist das Skalarprodukt 0, stehen die beiden Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander. Ein positiver Wert bedeutet einen spitzen Winkel zwischen ihnen, ein negativer Wert einen stumpfen Winkel.
Der resultierende Kreuzproduktvektor zeigt in eine Richtung senkrecht zu beiden Eingabevektoren, gemäß der Rechte-Hand-Regel.
Ein Einheitsvektor ist der ursprüngliche Vektor geteilt durch seinen Betrag (seine Norm) — er hat eine Länge von genau 1 und stellt nur die Richtung dar. Verwenden Sie ihn, wenn nur die Richtung zählt, nicht die Größe.
Die Eingabe eines Nullvektors (alle Komponenten gleich 0) macht den Betrag zu 0, sodass Einheitsvektor und Winkel dafür nicht berechnet werden können.

Wann Vektorrechnung gebraucht wird

Übungsaufgaben und Klausurvorbereitung prüfen

Ein verlorenes Vorzeichen oder eine falsch gesetzte Division verändert das Ergebnis eines Skalarprodukts oder eines Winkels. Der Abgleich mit der Maschine zeigt das in Sekunden.

Koordinatenrechnung in 3D-Grafik und Spielen

Flächennormalen stammen aus dem Kreuzprodukt, das Verhältnis von Blickrichtung und Fläche aus dem Skalarprodukt. Die Zahlen hier auszuprobieren geht schneller, als den Shader zu debuggen.

Kräfte zerlegen und Arbeit in der Physik berechnen

Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraft und Weg, das Drehmoment das Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Kraft. Einheitsvektoren nimmt man, wenn nur die Richtung zählt.

Messen, wie sehr zwei Richtungen übereinstimmen

Das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren ist genau cos θ. Die im maschinellen Lernen verbreitete Kosinus-Ähnlichkeit ist dieselbe Rechnung unter anderem Namen.

Begriffe der Vektorrechnung

Skalarprodukt: Die Summe der Produkte einander entsprechender Komponenten. Das Ergebnis ist ein Skalar, und da a·b = |a||b|cos θ gilt, bedeutet der Wert null, dass die Vektoren senkrecht aufeinanderstehen.
Kreuzprodukt: Eine nur im Dreidimensionalen definierte Verknüpfung, deren Ergebnis auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht. Der Betrag entspricht der Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms, die Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel.
Betrag (Norm): Die Länge eines Vektors, gegeben durch √(x² + y² + z²). Es ist der Satz des Pythagoras, ins Dreidimensionale übertragen.
Einheitsvektor: Ein auf die Länge 1 gebrachter Vektor, nützlich, wenn die Richtung erhalten und die Größe verworfen werden soll. Man erhält ihn, indem man jede Komponente durch den Betrag teilt.
Winkel zwischen Vektoren: Der Winkel, der zwei Vektoren trennt, stets zwischen 0° und 180°. Er ergibt sich, indem man das Skalarprodukt durch das Produkt der Beträge teilt und den Arkuskosinus nimmt.
Nullvektor: Der Vektor, dessen Komponenten sämtlich null sind. Er hat die Länge null und keine Richtung, weshalb sich weder Einheitsvektor noch Winkel bilden lassen.

Häufig gestellte Fragen

Das Skalarprodukt nimmt zwei Vektoren und erzeugt eine einzelne Zahl (einen Skalar), die üblicherweise zur Messung von Ähnlichkeit oder zur Berechnung des Winkels zwischen Vektoren verwendet wird. Das Kreuzprodukt nimmt zwei Vektoren und erzeugt einen neuen Vektor senkrecht zu beiden — und ist nur in drei Dimensionen definiert.

Ein dreidimensionaler Raum ist der einzige, in dem sich eine zu zwei gegebenen Vektoren senkrechte Richtung eindeutig bestimmen lässt. In 2D gibt es keine eindeutige senkrechte Richtung, und in 4D oder höher gibt es unendlich viele, sodass das allgemeine Kreuzprodukt natürlicherweise nur in 3D definiert ist.

Mit der Formel cosθ = (a·b) / (|a||b|). Teilt man das Skalarprodukt durch das Produkt der beiden Beträge, erhält man cosθ, und der Arkuskosinus (arccos) davon liefert den Winkel θ in Grad oder im Bogenmaß.

Ein Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor, hat aber einen Betrag (eine Länge) von genau 1. Man erhält ihn, indem man einen Vektor durch seinen Betrag teilt; er wird häufig für Flächennormalenvektoren in der Computergrafik verwendet oder immer dann, wenn nur die Richtung zählt, nicht die Größe.

Berechnen Sie das Skalarprodukt — ist es 0, stehen die beiden Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander. Dieses Tool berechnet das Skalarprodukt Ihrer Eingabevektoren automatisch, sodass Sie nur prüfen müssen, ob dieser Wert 0 ist.

Übrigens – Vektoren entstanden aus Hamiltons Quaternionen

Die heute verwendete Vektornotation geht auf "Quaternionen" zurück, ein System, das der irische Mathematiker William Rowan Hamilton im 19. Jahrhundert erfand, um Drehungen im dreidimensionalen Raum darzustellen. Eine Quaternion besteht aus vier Zahlen, und es waren die drei Komponenten ihres "Imaginärteils", die schließlich zum Prototyp des modernen Vektors wurden.

Der amerikanische Physiker Josiah Willard Gibbs und der britische Ingenieur Oliver Heaviside trennten die Vektoren von den Quaternionen und ordneten sie in das heute verwendete Skalarprodukt und Kreuzprodukt ein. Unabhängig voneinander arbeiteten sie Ende des 19. Jahrhunderts die Teile der Quaternionenalgebra heraus, die für die Physik — insbesondere den Elektromagnetismus — nicht benötigt wurden, und schufen so das noch heute gelehrte Gerüst der Vektoranalysis.

Das Kreuzprodukt wird im Allgemeinen nur für 3D-Vektoren definiert, weil ein dreidimensionaler Raum der einzige ist, in dem sich eine Richtung senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren eindeutig bestimmen lässt. Dank dieser Eigenschaft taucht das Kreuzprodukt in der Physik immer wieder auf — bei Drehmoment und Drehimpuls — sowie in der Computergrafik, wo es zur Berechnung des Normalenvektors einer Fläche verwendet wird.

Alle Wissenstexte ansehen