Mathématiques

Graphe d'hyperbole (x²/a² − y²/b² = 1)

Entrez a et b pour tracer l'hyperbole x²/a² − y²/b² = 1. Calcule automatiquement l'excentricité, les foyers, les sommets et les asymptotes.

Conseils

  • L'hyperbole x²/a² − y²/b² = 1 est composée de deux branches séparées. La branche droite existe pour x ≥ a et la branche gauche pour x ≤ −a.
  • Les asymptotes y = ±(b/a)x sont les droites que l'hyperbole approche sans jamais les toucher. Elles apparaissent en pointillés gris sur le graphe.
  • L'excentricité e = √(1 + b²/a²) est toujours supérieure à 1. Plus e est grand, plus l'hyperbole est « ouverte ».
  • Les foyers sont en (±c, 0) où c = √(a² + b²). Ils apparaissent sous forme de losanges oranges sur le graphe.

Questions fréquentes

L'équation x²/a² − y²/b² = 1 exige |x| ≥ a, il n'y a donc aucun point près de x = 0. La courbe se divise en une branche droite (x ≥ a) et une branche gauche (x ≤ −a).

Les asymptotes sont les droites y = ±(b/a)x que l'hyperbole approche lorsque x → ±∞. La courbe ne les touche jamais, mais s'en rapproche indéfiniment.

Une ellipse est définie par la somme constante des distances à deux foyers ; une hyperbole utilise la différence. Une ellipse a une excentricité 0 < e < 1 ; une hyperbole a e > 1.
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Anecdote — Les hyperboles et la navigation

Une hyperbole est définie comme l'ensemble des points dont la différence des distances à deux foyers fixes est constante. Cette propriété a été exploitée par le système de navigation LORAN (Long Range Navigation) au XXe siècle : les navires déterminaient leur position en mesurant la différence de temps d'arrivée des signaux radio émis par deux stations côtières.

Les miroirs hyperboliques sont utilisés dans les télescopes de Cassegrain, où un miroir secondaire hyperbolique convexe réfléchit la lumière à travers un orifice dans le miroir primaire, plaçant le foyer derrière le corps du télescope.

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