Calcolatrice dei fattoriali (n!, disposizioni e combinazioni)
Calcola con esattezza il fattoriale di un intero non negativo. Prevede anche le disposizioni e le combinazioni e, grazie al tipo BigInt, mostra il valore intero preciso senza limiti di cifre. Comprende un prospetto dei fattoriali da 0 a 20.
Prospetto dei fattoriali da 0 a 20
Un prospetto che raccoglie i valori dal fattoriale di zero a quello di venti. Il fattoriale di venti è un numero di diciannove cifre.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Fattoriali, disposizioni e combinazioni
Il fattoriale n! è il prodotto di tutti gli interi da uno a n e conta in quanti modi si possono disporre n cose in fila. Cinque fattoriale vale 120 e dieci fattoriale 3.628.800: il valore esplode non appena n cresce un poco. A venti fattoriale il risultato supera già i diciotto cifre, oltre ciò che i comuni numeri in virgola mobile riescono a rappresentare esattamente.
Questo strumento impiega BigInt per calcolare l'intero esatto senza limiti di cifre. Oltre al fattoriale tratta le disposizioni nPr, ossia il numero di modi di scegliere r cose fra n e ordinarle, e le combinazioni nCr, ossia il numero di modi di scegliere r cose fra n senza badare all'ordine. Valgono nPr = n! ÷ (n−r)! e nCr = n! ÷ (r! × (n−r)!), e che l'ordine conti o no è l'unica cosa che le distingue. È inclusa una tavola di consultazione dei fattoriali da zero a venti.
Come calcolare
- Scelga il tipo di calcolo Selezioni la scheda fattoriale, disposizione o combinazione.
- Inserisca n Un intero da 0 a 10.000. Il tetto esiste per ragioni di tempo di calcolo.
- Inserisca r, per disposizioni e combinazioni Un intero da 0 fino a n.
- Legga il risultato Anche i valori molto lunghi compaiono per intero come numeri esatti, mai abbreviati.
Consigli per sfruttarlo al meglio
- Il fattoriale di n è il prodotto di tutti gli interi da 1 a n: per esempio 5! vale 5 per 4 per 3 per 2 per 1, cioè 120. Per definizione particolare, il fattoriale di zero vale 1.
- Le disposizioni contano in quanti modi si possono scegliere r oggetti fra n e disporli in ordine. Distinguendo l'ordine, il valore è maggiore di quello delle combinazioni: per esempio le disposizioni di cinque elementi a due a due sono 5 per 4, cioè 20.
- Le combinazioni contano in quanti modi si possono scegliere r oggetti fra n senza distinguere l'ordine: per esempio le combinazioni di cinque elementi a due a due sono 10, cioè le venti disposizioni divise per i due modi di riordinare i due elementi scelti.
- Il fattoriale cresce con estrema rapidità: quello di venti conta già diciannove cifre e quello di cento ben centocinquantotto. Servendosi del tipo BigInt, lo strumento calcola con esattezza anche per valori grandi di n.
- Se n supera diecimila si ottiene un errore, per ragioni di costo di calcolo: è un limite pratico che impedisce al navigatore di smettere di rispondere.
Quando torna utile
Risolvere problemi di probabilità
Utile per verificare i propri svolgimenti nei problemi di conteggio che riguardano estrazioni o mani di carte.
Contare le disposizioni
Comodo anche per conteggi concreti, come piani dei posti o accoppiamenti di un torneo.
Trovare i coefficienti binomiali
nCr è proprio il coefficiente del teorema del binomio, così i valori del triangolo di Tartaglia si leggono direttamente.
Verificare il proprio codice
Confronti con il valore esatto per accertare che una funzione fattoriale scritta da lei non trabocchi con n grande.
I termini del fattoriale spiegati
- Fattoriale (n!)
- Il prodotto degli interi da uno a n. Zero fattoriale è definito uguale a uno, secondo la convenzione per cui un prodotto vuoto vale uno.
- Disposizione (nPr)
- Il numero di modi di scegliere r cose fra n e ordinarle, dato da n! ÷ (n−r)!.
- Combinazione (nCr)
- Il numero di modi di scegliere r cose fra n senza badare all'ordine, dato da n! ÷ (r! × (n−r)!).
- Coefficiente binomiale
- Il coefficiente di ciascun termine sviluppando (a+b)^n; coincide con nCr.
- BigInt
- Il tipo di JavaScript per interi di dimensione illimitata. Il tipo numerico ordinario perde esattezza oltre 2^53.
- Approssimazione di Stirling
- Una formula che approssima n! per n grande, usata dove non serve il valore esatto.
Domande frequenti
A proposito — perché il fattoriale si indica con un punto esclamativo
Il punto esclamativo come simbolo del fattoriale sarebbe stato introdotto nel 1808 dal matematico francese Christian Kramp in una sua opera. Prima di allora ciascun matematico usava una propria notazione e non esisteva un simbolo condiviso. Sulle ragioni della scelta si avanzano varie ipotesi, ma è nota soprattutto quella secondo cui esprimerebbe lo stupore di fronte alla rapidità con cui il valore cresce.
Quella crescita impetuosa è descritta anche dalla formula di approssimazione di Stirling ed è sfruttata per i calcoli approssimati in statistica, in teoria della probabilità e in calcolo combinatorio. Per valori di n tanto grandi da rendere impraticabile il calcolo esatto, quella formula svolge un ruolo di rilievo nella pratica.
Disposizioni e combinazioni sono il fondamento di molti problemi di probabilità della vita quotidiana: dal calcolo delle probabilità di vincita di una lotteria al numero di mescolate possibili di un mazzo di carte, che per cinquantadue carte è il fattoriale di cinquantadue, ossia circa otto per dieci alla sessantasettesima. Il numero delle combinazioni compare anche nelle righe del triangolo di Pascal ed è strettamente legato al teorema binomiale.