Calcolatrice dei fattoriali (n!, disposizioni e combinazioni)

Calcola con esattezza il fattoriale di un intero non negativo. Prevede anche le disposizioni e le combinazioni e, grazie al tipo BigInt, mostra il valore intero preciso senza limiti di cifre. Comprende un prospetto dei fattoriali da 0 a 20.

Prospetto dei fattoriali da 0 a 20

Un prospetto che raccoglie i valori dal fattoriale di zero a quello di venti. Il fattoriale di venti è un numero di diciannove cifre.

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5,040
8 40,320
9 362,880
10 3,628,800
11 39,916,800
12 479,001,600
13 6,227,020,800
14 87,178,291,200
15 1,307,674,368,000
16 20,922,789,888,000
17 355,687,428,096,000
18 6,402,373,705,728,000
19 121,645,100,408,832,000
20 2,432,902,008,176,640,000

Consigli

  • Il fattoriale di n è il prodotto di tutti gli interi da 1 a n: per esempio 5! vale 5 per 4 per 3 per 2 per 1, cioè 120. Per definizione particolare, il fattoriale di zero vale 1.
  • Le disposizioni contano in quanti modi si possono scegliere r oggetti fra n e disporli in ordine. Distinguendo l'ordine, il valore è maggiore di quello delle combinazioni: per esempio le disposizioni di cinque elementi a due a due sono 5 per 4, cioè 20.
  • Le combinazioni contano in quanti modi si possono scegliere r oggetti fra n senza distinguere l'ordine: per esempio le combinazioni di cinque elementi a due a due sono 10, cioè le venti disposizioni divise per i due modi di riordinare i due elementi scelti.
  • Il fattoriale cresce con estrema rapidità: quello di venti conta già diciannove cifre e quello di cento ben centocinquantotto. Servendosi del tipo BigInt, lo strumento calcola con esattezza anche per valori grandi di n.
  • Se n supera diecimila si ottiene un errore, per ragioni di costo di calcolo: è un limite pratico che impedisce al navigatore di smettere di rispondere.

Domande frequenti

È una definizione adottata per convenzione matematica. È naturale considerare che esista un solo modo di disporre l'insieme vuoto, cioè non fare nulla, ed è inoltre la definizione necessaria perché la proprietà per cui il fattoriale di n è n per il fattoriale di n meno uno valga anche per n uguale a uno.

Le disposizioni contano i modi di scegliere e ordinare, distinguendo l'ordine, cosicché AB e BA sono diverse. Le combinazioni contano i soli modi di scegliere, senza distinguere l'ordine, cosicché AB e BA coincidono. Le combinazioni sono quindi sempre non più numerose delle disposizioni e se ne ottengono dividendo queste ultime per il fattoriale di r.

Sono previsti gli interi fino a diecimila. Il fattoriale di diecimila supera le trentacinquemila cifre e valori più grandi rischierebbero di appesantire il navigatore per il costo di calcolo e di visualizzazione: di qui il limite.

Oltre che nel calcolo di disposizioni e combinazioni, svolge un ruolo fondamentale in molti campi della matematica: nella teoria della probabilità, con dadi e carte, nella statistica, nelle formule delle distribuzioni binomiale e di Poisson, e negli sviluppi in serie, dove il fattoriale compare per esempio nello sviluppo dell'esponenziale.
Tool-kun

A proposito — perché il fattoriale si indica con un punto esclamativo

Il punto esclamativo come simbolo del fattoriale sarebbe stato introdotto nel 1808 dal matematico francese Christian Kramp in una sua opera. Prima di allora ciascun matematico usava una propria notazione e non esisteva un simbolo condiviso. Sulle ragioni della scelta si avanzano varie ipotesi, ma è nota soprattutto quella secondo cui esprimerebbe lo stupore di fronte alla rapidità con cui il valore cresce.

Quella crescita impetuosa è descritta anche dalla formula di approssimazione di Stirling ed è sfruttata per i calcoli approssimati in statistica, in teoria della probabilità e in calcolo combinatorio. Per valori di n tanto grandi da rendere impraticabile il calcolo esatto, quella formula svolge un ruolo di rilievo nella pratica.

Disposizioni e combinazioni sono il fondamento di molti problemi di probabilità della vita quotidiana: dal calcolo delle probabilità di vincita di una lotteria al numero di mescolate possibili di un mazzo di carte, che per cinquantadue carte è il fattoriale di cinquantadue, ossia circa otto per dieci alla sessantasettesima. Il numero delle combinazioni compare anche nelle righe del triangolo di Pascal ed è strettamente legato al teorema binomiale.

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