Fakultätsrechner (n!, Permutationen nPr, Kombinationen nCr)
Berechne präzise die Fakultät n! einer nicht negativen ganzen Zahl n. Unterstützt auch Permutationen (nPr) und Kombinationen (nCr) mithilfe von BigInt für exakte Ganzzahlergebnisse ohne Stellenbegrenzung. Mit einer Fakultäts-Referenztabelle für 0 bis 20.
Fakultäts-Referenztabelle für 0 bis 20
Eine Tabelle mit den Werten von 0! bis 20!. Beachte, dass 20! bereits 19 Stellen hat.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Fakultät, Permutationen und Kombinationen
Die Fakultät n! ist das Produkt aller ganzen Zahlen von eins bis n und zählt **die Anzahl der Möglichkeiten, n Dinge in einer Reihe anzuordnen**. Fünf Fakultät ergibt 120, zehn Fakultät 3.628.800: Der Wert explodiert, sobald n auch nur ein wenig wächst. Bei zwanzig Fakultät übersteigt das Ergebnis bereits achtzehn Stellen und damit das, was gewöhnliche Gleitkommazahlen genau darstellen können.
Dieses Werkzeug berechnet mit **BigInt die exakte ganze Zahl ohne Begrenzung der Stellenzahl**. Neben der Fakultät beherrscht es Permutationen nPr, die Anzahl der Möglichkeiten, r Dinge aus n auszuwählen und anzuordnen, sowie Kombinationen nCr, die Anzahl der Möglichkeiten, r Dinge aus n ohne Rücksicht auf die Reihenfolge auszuwählen. Es gilt nPr = n! ÷ (n−r)! und nCr = n! ÷ (r! × (n−r)!), und **ob die Reihenfolge zählt, ist der einzige Unterschied zwischen beiden.** Eine Übersicht der Fakultäten von null bis zwanzig liegt bei.
So rechnen Sie
- Wählen Sie die Rechenart Wählen Sie die Registerkarte Fakultät, Permutation oder Kombination.
- Tragen Sie n ein Eine ganze Zahl von 0 bis 10.000. Die Obergrenze besteht aus Gründen der Rechenzeit.
- Tragen Sie r ein, bei Permutation und Kombination Eine ganze Zahl von 0 bis n.
- Lesen Sie das Ergebnis ab Auch sehr lange Werte erscheinen vollständig als exakte ganze Zahlen und werden nie abgekürzt.
Tipps für die Nutzung
- Die Fakultät (n!) ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n. Beispiel: 5! = 5x4x3x2x1 = 120. Per Sonderdefinition gilt 0! = 1.
- Die Permutation (nPr) zählt die Möglichkeiten, r Elemente aus n verschiedenen Elementen auszuwählen und anzuordnen. Da die Reihenfolge zählt, ist das Ergebnis immer mindestens so groß wie die entsprechende Kombination. Beispiel: 5P2 = 5x4 = 20.
- Die Kombination (nCr) zählt die Möglichkeiten, r Elemente aus n verschiedenen Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. Beispiel: 5C2 = 10 (5P2 = 20 geteilt durch die 2! = 2 Möglichkeiten, die 2 gewählten Elemente anzuordnen).
- Fakultäten wachsen extrem schnell: 20! hat bereits 19 Stellen, 100! sogar 158 Stellen. Dieses Tool nutzt BigInt und berechnet daher auch bei großen n exakte Werte ohne Rundungsfehler.
- Ist n zu groß (über 10.000), gibt das Tool wegen des Rechenaufwands einen Fehler aus – eine praktische Grenze, damit der Browser nicht einfriert.
Wofür sich das eignet
Wahrscheinlichkeitsaufgaben lösen
Nützlich zum Nachrechnen eigener Lösungen bei Abzählaufgaben mit Ziehungen oder Kartenblättern.
Anordnungen zählen
Auch für praktische Abzählungen brauchbar, etwa Sitzpläne oder Turnierpaarungen.
Binomialkoeffizienten bestimmen
nCr ist genau der Koeffizient im binomischen Lehrsatz, sodass sich Werte des Pascalschen Dreiecks direkt ablesen lassen.
Eigenen Code prüfen
Vergleichen Sie mit dem exakten Wert, um zu bestätigen, dass eine selbst geschriebene Fakultätsfunktion bei großem n nicht überläuft.
Begriffe rund um die Fakultät
- Fakultät (n!)
- Das Produkt der ganzen Zahlen von eins bis n. **Null Fakultät ist als eins definiert**, der Übereinkunft folgend, dass ein leeres Produkt eins ergibt.
- Permutation (nPr)
- Die Anzahl der Möglichkeiten, r Dinge aus n auszuwählen und **anzuordnen**, gegeben durch n! ÷ (n−r)!.
- Kombination (nCr)
- Die Anzahl der Möglichkeiten, r Dinge aus n **auszuwählen**, ohne die Reihenfolge zu beachten, gegeben durch n! ÷ (r! × (n−r)!).
- Binomialkoeffizient
- Der Koeffizient jedes Gliedes beim Entwickeln von (a+b)^n; er stimmt mit nCr überein.
- BigInt
- Der JavaScript-Typ für ganze Zahlen unbegrenzter Größe. **Der gewöhnliche Zahlentyp verliert oberhalb von 2^53 die Genauigkeit.**
- Stirlingsche Formel
- Eine Näherung für n! bei großem n, verwendet, wo kein exakter Wert nötig ist.
Häufig gestellte Fragen
Übrigens – Warum ist das Fakultätssymbol ein Ausrufezeichen?
Das Symbol „!“ für die Fakultät wird meist dem französischen Mathematiker Christian Kramp zugeschrieben, der es 1808 in einem Buch einführte. Zuvor verwendeten Mathematiker verschiedenste eigene Notationen ohne einheitlichen Standard. Für Kramps Wahl gibt es mehrere Erklärungen, doch eine verbreitete besagt, sie drücke das „Erstaunen“ darüber aus, wie schnell Fakultätswerte explodieren.
Dieses explosive Wachstum spiegelt sich auch in der Stirling-Näherung wider (n! ~ Wurzel(2*pi*n) * (n/e)^n), die in Statistik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik häufig für Näherungsrechnungen genutzt wird. Für Werte von n, die zu groß sind, um n! exakt zu berechnen, spielt diese Näherung eine wirklich praktische Rolle.
Die Konzepte hinter Permutationen und Kombinationen liegen alltäglichen Wahrscheinlichkeitsproblemen zugrunde, von der Berechnung von Lotteriechancen bis zur Anzahl der Möglichkeiten, ein Kartenspiel zu mischen (ein Standard-Kartenspiel mit 52 Karten hat 52! mögliche Anordnungen, rund 8x10^67). Die Kombinationszahl nCr erscheint auch als Einträge im Pascalschen Dreieck und ist eng mit dem Binomialsatz (der Entwicklung von (a+b)^n) verknüpft.