Fakultätsrechner (n!, Permutationen nPr, Kombinationen nCr)
Berechne präzise die Fakultät n! einer nicht negativen ganzen Zahl n. Unterstützt auch Permutationen (nPr) und Kombinationen (nCr) mithilfe von BigInt für exakte Ganzzahlergebnisse ohne Stellenbegrenzung. Mit einer Fakultäts-Referenztabelle für 0 bis 20.
Fakultäts-Referenztabelle für 0 bis 20
Eine Tabelle mit den Werten von 0! bis 20!. Beachte, dass 20! bereits 19 Stellen hat.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Tipps
- Die Fakultät (n!) ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n. Beispiel: 5! = 5x4x3x2x1 = 120. Per Sonderdefinition gilt 0! = 1.
- Die Permutation (nPr) zählt die Möglichkeiten, r Elemente aus n verschiedenen Elementen auszuwählen und anzuordnen. Da die Reihenfolge zählt, ist das Ergebnis immer mindestens so groß wie die entsprechende Kombination. Beispiel: 5P2 = 5x4 = 20.
- Die Kombination (nCr) zählt die Möglichkeiten, r Elemente aus n verschiedenen Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. Beispiel: 5C2 = 10 (5P2 = 20 geteilt durch die 2! = 2 Möglichkeiten, die 2 gewählten Elemente anzuordnen).
- Fakultäten wachsen extrem schnell: 20! hat bereits 19 Stellen, 100! sogar 158 Stellen. Dieses Tool nutzt BigInt und berechnet daher auch bei großen n exakte Werte ohne Rundungsfehler.
- Ist n zu groß (über 10.000), gibt das Tool wegen des Rechenaufwands einen Fehler aus – eine praktische Grenze, damit der Browser nicht einfriert.
Häufig gestellte Fragen
Übrigens – Warum ist das Fakultätssymbol ein Ausrufezeichen?
Das Symbol „!“ für die Fakultät wird meist dem französischen Mathematiker Christian Kramp zugeschrieben, der es 1808 in einem Buch einführte. Zuvor verwendeten Mathematiker verschiedenste eigene Notationen ohne einheitlichen Standard. Für Kramps Wahl gibt es mehrere Erklärungen, doch eine verbreitete besagt, sie drücke das „Erstaunen“ darüber aus, wie schnell Fakultätswerte explodieren.
Dieses explosive Wachstum spiegelt sich auch in der Stirling-Näherung wider (n! ~ Wurzel(2*pi*n) * (n/e)^n), die in Statistik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik häufig für Näherungsrechnungen genutzt wird. Für Werte von n, die zu groß sind, um n! exakt zu berechnen, spielt diese Näherung eine wirklich praktische Rolle.
Die Konzepte hinter Permutationen und Kombinationen liegen alltäglichen Wahrscheinlichkeitsproblemen zugrunde, von der Berechnung von Lotteriechancen bis zur Anzahl der Möglichkeiten, ein Kartenspiel zu mischen (ein Standard-Kartenspiel mit 52 Karten hat 52! mögliche Anordnungen, rund 8x10^67). Die Kombinationszahl nCr erscheint auch als Einträge im Pascalschen Dreieck und ist eng mit dem Binomialsatz (der Entwicklung von (a+b)^n) verknüpft.