계승（팩토리얼）계산기（n!・순열nPr・조합nCr）
음이 아닌 정수 n의 계승 n!을 정확하게 계산합니다. 순열（nPr）・조합（nCr）도 지원하며, BigInt를 사용해 자릿수 제한 없이 정확한 정수값을 표시합니다. 0〜20의 계승 조견표 포함.
0〜20의 계승 조견표
0!부터 20!까지의 값을 정리한 표입니다. 20!은 19자리 수가 됩니다.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Tips
- 계승（n!）은 1부터 n까지의 모든 정수를 곱한 값입니다. 예: 5! = 5×4×3×2×1 = 120. 특별한 정의로 0! = 1입니다.
- 순열（nPr）은 n개의 서로 다른 것 중 r개를 골라 「나열」하는 경우의 수입니다. 순서를 구분하므로 조합보다 값이 커집니다. 예: 5P2 = 5×4 = 20.
- 조합（nCr）은 n개의 서로 다른 것 중 r개를 「고르는」 경우의 수（순서를 구분하지 않음）입니다. 예: 5C2 = 10（5P2 = 20을 고른 2개의 나열 방법 수 2!=2로 나눈 값）.
- 계승은 증가 속도가 매우 빨라 20!에서 이미 19자리, 100!에 이르면 158자리에 달합니다. 이 도구는 BigInt를 사용하므로 큰 n에서도 오차 없이 정확한 값을 계산할 수 있습니다.
- n이 너무 크면（10,000 초과） 계산 비용 문제로 오류가 발생합니다. 브라우저가 응답 불능이 되는 것을 방지하기 위한 실용적인 상한입니다.
자주 묻는 질문
0! = 1은 수학적 관례로 정의되어 있습니다. 공집합（아무것도 선택하지 않음）을 나열하는 방법은 1가지（아무것도 하지 않는다는 1가지 방법）라고 생각하면 자연스러우며, 계승의 성질 n! = n × (n-1)!이 n=1에서도 성립하도록 하기 위해 필요한 정의이기도 합니다.
순열（nPr）은 「골라서 나열하는」 경우의 수로 순서를 구분합니다（AB와 BA는 다름）. 조합（nCr）은 「고르기만」 하며 순서를 구분하지 않습니다（AB와 BA는 같음）. 따라서 항상 nCr ≤ nPr이 성립하며, nCr = nPr ÷ r!의 관계가 있습니다.
10,000까지의 정수를 지원합니다. 10,000!은 35,000자리를 넘는 거대한 수가 되며, 그 이상은 표시・계산 비용 문제로 브라우저 동작이 느려질 수 있어 상한을 두었습니다.
순열・조합 계산은 물론, 확률론（주사위나 트럼프 카드의 조합）, 통계학（이항분포・포아송분포의 계산식）, 테일러 전개（eˣ 등의 급수 전개에 계승이 등장）등 수학의 다양한 분야에서 기초적인 역할을 합니다.
여담 ― 계승 기호 「!」는 왜 느낌표가 되었을까
계승을 나타내는 「!」 기호는 1808년 프랑스 수학자 크리스티안 크람프（Christian Kramp）가 저서에서 도입했다고 알려져 있습니다. 그 이전에는 수학자마다 각자 다른 표기법을 사용했고 통일된 기호가 없었습니다. 크람프가 이 기호를 선택한 이유에는 여러 설이 있지만, 계승 값이 급격히 커지는 것에 대한 「놀라움」을 표현했다는 설이 잘 알려져 있습니다.
계승의 급격한 증가는 스털링 근사식（n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ）으로도 알려져 있으며, 통계학・확률론・조합론 등 폭넓은 분야에서 근사 계산에 활용됩니다. 실제로 n!을 정확히 계산하기 어려울 만큼 큰 n에 대해서는 이 근사식이 실용적으로 중요한 역할을 합니다.
순열・조합의 개념은 복권 당첨 확률 계산이나 트럼프 카드의 셔플 방법 수（52장의 트럼프 카드를 나열하는 방법은 52!가지, 약 8×10⁶⁷가지）등 일상적인 확률 문제를 푸는 기초가 됩니다. 조합 수 nCr은 「파스칼의 삼각형」의 각 행의 숫자로도 나타나며, 이항정리（(a+b)ⁿ의 전개）와도 밀접하게 관련되어 있습니다.