Calculadora de factoriales (n!, permutaciones nPr, combinaciones nCr)
Calcula con precisión el factorial n! de un entero no negativo n. También admite permutaciones (nPr) y combinaciones (nCr), usando BigInt para resultados enteros exactos sin límite de dígitos. Incluye una tabla de referencia de factoriales del 0 al 20.
Tabla de referencia de factoriales del 0 al 20
Una tabla con los valores de 0! a 20!. Ten en cuenta que 20! ya tiene 19 dígitos.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Factoriales, permutaciones y combinaciones
El factorial n! es el producto de todos los enteros de uno hasta n, y cuenta **de cuántas maneras pueden ordenarse n cosas en fila**. Cinco factorial vale 120 y diez factorial 3.628.800: el valor se dispara en cuanto n crece un poco. Al llegar a veinte factorial el resultado ya supera los dieciocho dígitos, más de lo que los números en coma flotante corrientes pueden representar con exactitud.
Esta herramienta emplea **BigInt para calcular el entero exacto sin límite de dígitos**. Además del factorial admite permutaciones nPr, el número de formas de elegir r cosas entre n y ordenarlas, y combinaciones nCr, el número de formas de elegir r cosas entre n sin atender al orden. Se relacionan como nPr = n! ÷ (n−r)! y nCr = n! ÷ (r! × (n−r)!), y **que el orden importe o no es lo único que las separa.** Se incluye una tabla de consulta rápida con los factoriales de cero a veinte.
Cómo calcular
- Elija el tipo de cálculo Seleccione la pestaña de factorial, permutación o combinación.
- Introduzca n Un entero de 0 a 10.000. El tope existe por razones de tiempo de cálculo.
- Introduzca r, para permutaciones y combinaciones Un entero de 0 hasta n.
- Lea el resultado Incluso los valores muy largos se muestran completos como enteros exactos, nunca abreviados.
Consejos para aprovecharla mejor
- El factorial (n!) es el producto de todos los enteros del 1 al n. Por ejemplo, 5! = 5x4x3x2x1 = 120. Por definición especial, 0! = 1.
- La permutación (nPr) cuenta las formas de elegir r elementos de n elementos distintos y ordenarlos. Como el orden importa, el resultado siempre es mayor o igual que la combinación correspondiente. Por ejemplo, 5P2 = 5x4 = 20.
- La combinación (nCr) cuenta las formas de elegir r elementos de n elementos distintos sin importar el orden. Por ejemplo, 5C2 = 10 (dividiendo 5P2 = 20 entre las 2! = 2 formas de reordenar los 2 elementos elegidos).
- Los factoriales crecen extremadamente rápido: 20! ya tiene 19 dígitos, y 100! tiene 158 dígitos. Esta herramienta usa BigInt, por lo que calcula valores exactos sin error de redondeo incluso para valores grandes de n.
- Si n es demasiado grande (más de 10.000), la herramienta devuelve un error por el costo de cálculo — un límite práctico para evitar que el navegador deje de responder.
Situaciones en las que resulta útil
Resolver problemas de probabilidad
Sirve para comprobar sus propios desarrollos en problemas de recuento con sorteos o manos de cartas.
Contar ordenaciones
Práctico también para recuentos reales, como planes de asientos o emparejamientos de un torneo.
Hallar coeficientes binomiales
nCr es precisamente el coeficiente del teorema del binomio, así que puede leer directamente los valores del triángulo de Pascal.
Comprobar su propio código
Contraste con el valor exacto para confirmar que una función factorial escrita por usted no se desborda con n grande.
Términos del factorial explicados
- Factorial (n!)
- El producto de los enteros de uno hasta n. **Cero factorial se define como uno**, según el convenio de que un producto vacío vale uno.
- Permutación (nPr)
- El número de formas de elegir r cosas entre n y **ordenarlas**, dado por n! ÷ (n−r)!.
- Combinación (nCr)
- El número de formas de **elegir** r cosas entre n sin atender al orden, dado por n! ÷ (r! × (n−r)!).
- Coeficiente binomial
- El coeficiente de cada término al desarrollar (a+b)^n; coincide con nCr.
- BigInt
- El tipo de JavaScript para enteros de tamaño ilimitado. **El tipo numérico corriente pierde exactitud más allá de 2^53.**
- Aproximación de Stirling
- Una fórmula que aproxima n! para n grande, empleada cuando no hace falta el valor exacto.
Preguntas frecuentes
A propósito — ¿Por qué el símbolo del factorial es un signo de exclamación?
El símbolo "!" para el factorial se atribuye generalmente al matemático francés Christian Kramp, quien lo introdujo en un libro publicado en 1808. Antes de eso, los matemáticos usaban una variedad de notaciones improvisadas sin un estándar acordado. Existen varias explicaciones para la elección de Kramp, pero una popular es que capta la sensación de "asombro" ante lo rápido que crecen los valores factoriales.
Este crecimiento explosivo también se refleja en la aproximación de Stirling (n! ~ raíz(2*pi*n) * (n/e)^n), ampliamente utilizada para cálculos aproximados en estadística, teoría de la probabilidad y combinatoria. Para valores de n demasiado grandes como para calcular n! con exactitud, esta aproximación cumple un papel genuinamente práctico.
Las ideas detrás de las permutaciones y combinaciones sustentan problemas de probabilidad cotidianos, desde calcular las probabilidades de la lotería hasta contar el número de formas de barajar una baraja de cartas (una baraja estándar de 52 cartas tiene 52! ordenaciones posibles, aproximadamente 8x10^67). El número de combinaciones nCr también aparece como las entradas del triángulo de Pascal y está estrechamente ligado al teorema del binomio (la expansión de (a+b)^n).