階乗計算機（n!・順列nPr・組み合わせnCr）
非負整数nの階乗n!を正確に計算。順列（nPr）・組み合わせ（nCr）にも対応し、BigIntにより桁数の上限なく厳密な整数値を表示します。0〜20の階乗早見表付き。
0〜20 の階乗早見表
0!から20!までの値をまとめた一覧表です。20!は19桁の数になります。
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Tips
- 階乗（n!）は1からnまでのすべての整数を掛け合わせた値です。例: 5! = 5×4×3×2×1 = 120。特別な定義として 0! = 1 です。
- 順列（nPr）はn個の異なるものからr個を選んで「並べる」場合の数です。順序を区別するため、組み合わせより値が大きくなります。例: 5P2 = 5×4 = 20。
- 組み合わせ（nCr）はn個の異なるものからr個を「選ぶ」場合の数（順序を区別しない）です。例: 5C2 = 10（5P2 = 20 を選んだ2個の並べ替え方2!=2で割った値）。
- 階乗は増加が非常に急激で、20!ですでに19桁、100!に至っては158桁にもなります。このツールはBigIntを使うため、大きなnでも誤差なく正確な値を計算できます。
- nが大きすぎる（10,000超）場合は計算コストの都合上エラーになります。ブラウザが応答不能になることを防ぐための実用上の上限です。
よくある質問
0! = 1 は数学的な慣習として定義されています。空集合（何も選ばない）を並べる方法は1通り（何もしない、という1つの並べ方）と考えると自然であり、階乗の性質 n! = n × (n-1)! を n=1 でも成立させるために必要な定義でもあります。
順列（nPr）は「選んで並べる」場合の数で順序を区別します（ABとBAは別）。組み合わせ（nCr）は「選ぶだけ」で順序を区別しません（ABとBAは同じ）。そのため常に nCr ≤ nPr となり、nCr = nPr ÷ r! の関係があります。
10,000までの整数に対応しています。10,000!は35,000桁を超える巨大な数になり、それ以上大きな値は表示・計算コストの都合上、ブラウザの動作が重くなる可能性があるため上限を設けています。
順列・組み合わせの計算はもちろん、確率論（サイコロやトランプの組み合わせ）、統計学（二項分布・ポアソン分布の計算式）、テイラー展開（eˣなどの級数展開に階乗が登場）など、数学の様々な分野で基礎的な役割を果たしています。
余談ですが ― 階乗記号「!」はなぜビックリマークになったのか
階乗を表す「!」という記号は、1808年にフランスの数学者クリスティアン・クランプ（Christian Kramp）が著書の中で導入したとされています。それ以前は数学者によって様々な独自の表記が使われており、統一された記号が存在しませんでした。クランプが選んだ理由は諸説ありますが、階乗の値が急激に大きくなっていく様子への「驚き」を表現したという説がよく知られています。
階乗の急激な増加はスターリングの近似式（n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ）としても知られ、統計学・確率論・組み合わせ論など幅広い分野で近似計算に利用されています。実際、n!を正確に計算するのが困難なほど大きなnに対しては、この近似式が実用上重要な役割を果たします。
順列・組み合わせの考え方は、宝くじの当選確率計算やトランプのシャッフルパターン数（52枚のトランプの並び方は52!通り、約8×10⁶⁷通り）など、身近な確率の問題を解く基礎になっています。組み合わせ数nCrは「パスカルの三角形」の各行の数値としても現れ、二項定理（(a+b)ⁿの展開）とも密接に関連しています。