Calculadora de fatorial (n!, permutações nPr, combinações nCr)
Calcule com precisão o fatorial n! de um número inteiro não negativo n. Também suporta permutações (nPr) e combinações (nCr), usando BigInt para resultados inteiros exatos sem limite de dígitos. Inclui uma tabela de referência de fatoriais de 0 a 20.
Tabela de referência de fatoriais de 0 a 20
Uma tabela com os valores de 0! a 20!. Observe que 20! já tem 19 dígitos.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Fatoriais, permutações e combinações
O fatorial n! é o produto de todos os inteiros de um até n, e conta **de quantas maneiras se podem dispor n coisas em fila**. Cinco fatorial vale 120 e dez fatorial 3.628.800: o valor dispara assim que n cresce um pouco. Ao chegar a vinte fatorial o resultado já ultrapassa os dezoito dígitos, mais do que os números em vírgula flutuante correntes conseguem representar com exatidão.
Esta ferramenta usa **BigInt para calcular o inteiro exato sem limite de dígitos**. Além do fatorial admite permutações nPr, o número de formas de escolher r coisas entre n e ordená-las, e combinações nCr, o número de formas de escolher r coisas entre n sem atender à ordem. Relacionam-se como nPr = n! ÷ (n−r)! e nCr = n! ÷ (r! × (n−r)!), e **o facto de a ordem importar ou não é a única coisa que as separa.** Inclui-se uma tabela de consulta rápida com os fatoriais de zero a vinte.
Como calcular
- Escolha o tipo de cálculo Selecione o separador de fatorial, permutação ou combinação.
- Introduza n Um inteiro de 0 a 10.000. O teto existe por razões de tempo de cálculo.
- Introduza r, para permutações e combinações Um inteiro de 0 até n.
- Leia o resultado Mesmo os valores muito longos são mostrados por inteiro como números exatos, nunca abreviados.
Dicas para aproveitar melhor
- O fatorial (n!) é o produto de todos os inteiros de 1 a n. Por exemplo, 5! = 5x4x3x2x1 = 120. Por definição especial, 0! = 1.
- A permutação (nPr) conta as formas de escolher r itens entre n itens distintos e organizá-los em ordem. Como a ordem importa, o resultado é sempre maior ou igual à combinação correspondente. Por exemplo, 5P2 = 5x4 = 20.
- A combinação (nCr) conta as formas de escolher r itens entre n itens distintos sem considerar a ordem. Por exemplo, 5C2 = 10 (dividindo 5P2 = 20 pelas 2! = 2 formas de reordenar os 2 itens escolhidos).
- Os fatoriais crescem extremamente rápido: 20! já tem 19 dígitos, e 100! tem 158 dígitos. Esta ferramenta usa BigInt, calculando valores exatos sem erro de arredondamento mesmo para valores grandes de n.
- Se n for muito grande (acima de 10.000), a ferramenta retorna um erro devido ao custo computacional — um limite prático para evitar que o navegador trave.
Situações em que ajuda
Resolver problemas de probabilidade
Serve para conferir os seus próprios desenvolvimentos em problemas de contagem com sorteios ou mãos de cartas.
Contar ordenações
Prático também para contagens reais, como planos de lugares ou emparelhamentos de um torneio.
Achar coeficientes binomiais
nCr é precisamente o coeficiente do teorema do binómio, pelo que pode ler diretamente os valores do triângulo de Pascal.
Conferir o seu próprio código
Compare com o valor exato para confirmar que uma função fatorial escrita por si não transborda com n grande.
Termos do fatorial explicados
- Fatorial (n!)
- O produto dos inteiros de um até n. **Zero fatorial define-se como um**, segundo a convenção de que um produto vazio vale um.
- Permutação (nPr)
- O número de formas de escolher r coisas entre n e **ordená-las**, dado por n! ÷ (n−r)!.
- Combinação (nCr)
- O número de formas de **escolher** r coisas entre n sem atender à ordem, dado por n! ÷ (r! × (n−r)!).
- Coeficiente binomial
- O coeficiente de cada termo ao desenvolver (a+b)^n; coincide com nCr.
- BigInt
- O tipo do JavaScript para inteiros de tamanho ilimitado. **O tipo numérico corrente perde exatidão para lá de 2^53.**
- Aproximação de Stirling
- Uma fórmula que aproxima n! para n grande, usada quando o valor exato não é necessário.
Perguntas frequentes
Curiosidade — Por que o símbolo do fatorial é um ponto de exclamação?
O símbolo "!" para fatorial é geralmente atribuído ao matemático francês Christian Kramp, que o introduziu em um livro publicado em 1808. Antes disso, os matemáticos usavam diversas notações improvisadas sem um padrão acordado. Existem várias explicações para a escolha de Kramp, mas uma versão popular é que ela capta a sensação de "espanto" com a rapidez com que os valores fatoriais crescem.
Esse crescimento explosivo também é capturado pela aproximação de Stirling (n! ~ raiz(2*pi*n) * (n/e)^n), amplamente usada para cálculos aproximados em estatística, teoria das probabilidades e combinatória. Para valores de n grandes demais para calcular n! com exatidão, essa aproximação desempenha um papel genuinamente prático.
As ideias por trás das permutações e combinações fundamentam problemas cotidianos de probabilidade, desde calcular as chances de loteria até contar o número de formas de embaralhar um baralho de cartas (um baralho padrão de 52 cartas tem 52! ordenações possíveis, cerca de 8x10^67). O número de combinações nCr também aparece como as entradas do Triângulo de Pascal e está intimamente ligado ao teorema binomial (a expansão de (a+b)^n).