Calculatrice de factorielle (n!, permutations nPr, combinaisons nCr)
Calculez avec précision la factorielle n! d'un entier naturel n. Prend également en charge les permutations (nPr) et les combinaisons (nCr), grâce à BigInt pour des résultats entiers exacts sans limite de chiffres. Comprend un tableau de référence des factorielles de 0 à 20.
Tableau de référence des factorielles de 0 à 20
Un tableau listant les valeurs de 0! à 20!. Notez que 20! comporte déjà 19 chiffres.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
Factorielles, arrangements et combinaisons
La factorielle n! est le produit de tous les entiers de un à n ; elle compte **le nombre de façons de ranger n objets en file**. Cinq factorielle vaut 120 et dix factorielle 3 628 800 : la valeur explose dès que n grandit un peu. À vingt factorielle, le résultat dépasse déjà dix-huit chiffres, au-delà de ce que les nombres à virgule flottante ordinaires peuvent représenter exactement.
Cet outil emploie **BigInt pour calculer l'entier exact sans limite de chiffres**. Outre la factorielle, il traite les arrangements nPr, soit le nombre de façons de choisir r objets parmi n et de les ordonner, ainsi que les combinaisons nCr, soit le nombre de façons de choisir r objets parmi n sans tenir compte de l'ordre. On a nPr = n! ÷ (n−r)! et nCr = n! ÷ (r! × (n−r)!), et **le fait que l'ordre compte ou non est leur seule différence.** Un tableau de consultation des factorielles de zéro à vingt est fourni.
Comment calculer
- Choisissez le type de calcul Sélectionnez l'onglet factorielle, arrangement ou combinaison.
- Saisissez n Un entier de 0 à 10 000. Le plafond tient au temps de calcul.
- Saisissez r, pour les arrangements et combinaisons Un entier de 0 jusqu'à n.
- Lisez le résultat Même les valeurs très longues s'affichent en entier, sous forme d'entiers exacts et jamais abrégés.
Astuces pour en tirer le meilleur parti
- La factorielle (n!) est le produit de tous les entiers de 1 à n. Par exemple, 5! = 5x4x3x2x1 = 120. Par définition spéciale, 0! = 1.
- La permutation (nPr) compte le nombre de façons de choisir r éléments parmi n éléments distincts et de les ordonner. Comme l'ordre compte, le résultat est toujours au moins égal à la combinaison correspondante. Par exemple, 5P2 = 5x4 = 20.
- La combinaison (nCr) compte le nombre de façons de choisir r éléments parmi n éléments distincts sans tenir compte de l'ordre. Par exemple, 5C2 = 10 (en divisant 5P2 = 20 par les 2! = 2 façons de réordonner les 2 éléments choisis).
- Les factorielles croissent extrêmement vite : 20! compte déjà 19 chiffres, et 100! en compte 158. Cet outil utilise BigInt et calcule donc des valeurs exactes sans erreur d'arrondi, même pour de grandes valeurs de n.
- Si n est trop grand (supérieur à 10 000), l'outil renvoie une erreur en raison du coût de calcul — une limite pratique pour éviter que le navigateur ne devienne inutilisable.
Dans quels cas cela sert
Résoudre des problèmes de probabilité
Utile pour vérifier ses propres calculs dans les problèmes de dénombrement portant sur des tirages ou des mains de cartes.
Dénombrer des rangements
Commode aussi pour les comptages réels, tels que plans de table ou appariements de tournoi.
Trouver des coefficients binomiaux
nCr est précisément le coefficient du binôme, si bien que les valeurs du triangle de Pascal se lisent directement.
Vérifier son propre code
Comparez à la valeur exacte pour confirmer qu'une fonction factorielle que vous avez écrite ne déborde pas pour de grands n.
Les termes de la factorielle expliqués
- Factorielle (n!)
- Le produit des entiers de un à n. **Zéro factorielle vaut un par définition**, suivant la convention selon laquelle un produit vide vaut un.
- Arrangement (nPr)
- Le nombre de façons de choisir r objets parmi n et de les **ordonner**, donné par n! ÷ (n−r)!.
- Combinaison (nCr)
- Le nombre de façons de **choisir** r objets parmi n sans tenir compte de l'ordre, donné par n! ÷ (r! × (n−r)!).
- Coefficient binomial
- Le coefficient de chaque terme dans le développement de (a+b)^n ; il est égal à nCr.
- BigInt
- Le type de JavaScript pour les entiers de taille illimitée. **Le type numérique ordinaire perd son exactitude au-delà de 2^53.**
- Formule de Stirling
- Une formule approchant n! pour de grands n, employée quand la valeur exacte n'est pas requise.
Questions fréquentes
Anecdote — Pourquoi le symbole de la factorielle est-il un point d'exclamation ?
Le symbole « ! » pour la factorielle est généralement attribué au mathématicien français Christian Kramp, qui l'a introduit dans un ouvrage publié en 1808. Auparavant, les mathématiciens utilisaient diverses notations improvisées sans norme convenue. Plusieurs explications existent quant au choix de Kramp, mais l'une des plus répandues est qu'il exprime l'« étonnement » face à la rapidité avec laquelle les valeurs factorielles explosent.
Cette croissance explosive est également captée par l'approximation de Stirling (n! ~ racine(2*pi*n) * (n/e)^n), largement utilisée pour des calculs approximatifs en statistique, en théorie des probabilités et en combinatoire. Pour des valeurs de n trop grandes pour calculer n! exactement, cette approximation joue un rôle véritablement pratique.
Les concepts de permutation et de combinaison sont à la base de problèmes de probabilité courants, du calcul des chances de gagner à la loterie au dénombrement des façons de mélanger un jeu de cartes (un jeu standard de 52 cartes possède 52! ordres possibles, soit environ 8x10^67). Le nombre de combinaisons nCr apparaît également dans les entrées du triangle de Pascal et est étroitement lié au théorème du binôme (le développement de (a+b)^n).